Simmetrie centrali

Definizione
Dati due punti P, Q ∈ E^n si dice punto medio del segmento PQ il punto M tale che −−→PM = −−→MQ.
Se, fissato un riferimento cartesiano R, si ha P ≡ (x1, . . . , xn), Q ≡ (y1, . . . , yn), allora M ≡ (x1+y12, . . . ,xn+yn2).
Definizione
Fissato un punto C ∈ En, per ogni punto P ∈ En, si dice simmetrico di P rispetto
a C il punto P0 = sC (P) ∈ En tale che −→PC =−−→CP0. L’applicazione sC : E^n → E^n P → sC (P) `e detta simmetria centrale di centro C.
Equazioni di una simmetria centrale
Se, rispetto al riferimento cartesiano R, si ha
C ≡ (c1, . . . , cn), P ≡ (x1, . . . , xn), P
0 ≡ (y1, . . . , yn), allora: yi = −xi + 2ci ∀i ∈ {1, . . . , n}.
La simmetria di centro C `e quindi un’isometria, la cui matrice associata `e −In; `e diretta per n pari, inversa per n dispari. L’unico punto fisso di una simmetria centrale `e il suo centro C.

Simmetrie ortogonali Definizione
Fissato un iperpiano π di E^n e dato un punto P, sia H la proiezione ortogonale di P su π. Si dice simmetrico di P rispetto a π il punto P 0 = sπ(P) tale che −→PH = −−→ HP0. L’applicazione sπ : E^n → En P → sπ(P) `e detta simmetria ortogonale rispetto a π.
Proposizione
Si consideri il riferimento cartesiano R = (O, B~) dove O ∈ π ed i primi n − 1
vettori della base B~ appartengono a ~π