Trasformazioni ortogonali e Isometrie

Trasformazioni ortogonali

Definizione
Dati due spazi vettoriali euclidei (V^n, ) e (W m, ), un’applicazione lineare T : V^n → W m, si dice una trasformazione ortogonale se ∀u, v ∈ V si ha
= (T conserva il prodotto scalare).(dove indica il prodotto scalare ).
Proprietà
∀v ∈ V^n, ||T(v)|| = ||v||(T conserva la norma dei vettori) T è iniettiva; inoltre se n = m (in particolare se V = W ), T `e un isomorfismo una trasformazione lineare T : V^n → W m `e una trasformazione ortogonale se e solo se date B e B0 basi ortonormali di V^n e W^m rispettivamente, la matrice associata a T relativamente a B e B 0 `e ortogonale.

Isometrie

Definizione
Sia α : E^n → En un’applicazione dello spazio euclideo E^n tale che ∀P, Q, R, S ∈ E^n, se −→PQ = −→RS allora −→α(P)α(Q) =−−→α(R)α(S).
Sia ~α : E~n → E~n la trasformazione lineare definita da ~α(−→PQ) =−−→α(P)α(Q).
α si dice una isometria di E^n, se ~α `e una trasformazione ortogonale.
Proprietà
α `e biunivoca (o biettiva) (se è sia iniettiva che suriettiva)
α conserva le distanze: d(α(P), α(Q)) = d(P, Q) ∀P, Q ∈ En.
α trasforma sottospazi euclidei in sottospazi euclidei della stessa dimensione.
Un punto P si dice punto fisso di α se α(P) = P