Geometria biennio superiori: Prolunga la mediana \bar{AM} di un triangolo ABC di un segmento \bar{MD} congruente a \bar{AM}, dimostra che ABDC è un parallelogramma.

Prolunga la mediana

di un triangolo

di un segmento

congruente a

, dimostra che

è un parallelogramma.

Svolgimento

Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma, si deve dimostrare che i suoi lati opposti siano congruenti.

Per farlo, prendiamo in considerazione i triangoli

e

; essi hanno:

• AMC ≅ BMD perché angoli opposti al vertice;

• CM ≅ MB perché segmenti creati da una mediana;

• AM ≅ MD per ipotesi.

Quindi, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli,

e

sono congruenti.

Possiamo quindi affermare che AC ≅ BD, perché lati opposti ad angoli congruenti.

Con un ragionamento analogo, dimostriamo che AB ≅ CD considerando i triangoli

e

; essi hanno:

• AMB ≅ CMD perché angoli opposti al vertice;
• CM ≅ MB perché segmenti creati da una mediana;
• AM ≅ MD per ipotesi.

Quindi, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli,

e

sono congruenti.

Possiamo quindi affermare che anche AB ≅ CD , perché lati opposti ad angoli congruenti.

Di conseguenza, il quadrilatero

, avendo i lati opposti congruenti, è un parallelogramma.