Geometria biennio superiori: Quattro semirette di origine O si susseguono nell'ordine a , b , c, d , e gli angoli ad e bc hanno la stessa bisettrice s . Prendi su a e d rispettivamente i segmenti ....

Quattro semirette di origine

si susseguono nell'ordine

,

,

,

, e gli angoli

e

hanno la stessa bisettrice

. Prendi su

e

rispettivamente i segmenti

e su

e

rispettivamente i segmenti

.

Dimostra che

,

e

.

Svolgimento

Consideriamo gli angoli

e

. Essi sono congruenti perché opposti al vertice.

Ora consideriamo i triangoli

e

. Essi hanno:

• [math]DO = AO[/math]
  per ipotesi;
• [math]OC = BO[/math]
  per ipotesi;
• [math] hat{AOB} = hat{COD}[/math]
  perché angoli opposti al vertice;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruente, i triangoli

e

sono congruenti.

In particolare risulta che

.

Di conseguenza

perché somme di lati congruenti.

Gli angoli formati dalle rette

e

sono congruenti perché somme di angoli congruenti; si ha infatti che:

• [math] hat{AOB} = hat{COD}[/math]
  perché angoli opposti al vertice;
• l'angolo
  [math]bc[/math]
  è congruente all'angolo
  [math]ad[/math]
  , anch'essi opposti al vertice.