Geometria biennio superiori: Dato un segmento BC prendi, in uno stesso semipiano di origine BC , due punti A e A' , in modo che ...

Dato un segmento

prendi, in uno stesso semipiano di origine

, due punti

e

, in modo che sia

,

e

. Sia

il punto d'intersezione dei segmenti

e

. Dimostra che il triangolo

è isoscele e che i due triangoli

e

sono congruenti.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli

e

.

Essi hanno:

• [math] A'B = AC [/math]
  per ipotesi;
• [math]BC[/math]
  in comune;
• [math] AB = A'C [/math]
  , per ipotesi.

Di conseguenza, per il per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti, i triangoli

e

sono congruenti.

Si avrà quindi che

,

,

.

Il triangolo

è quindi isoscele, perché avente gli angoli alla base congruenti

. Di conseguenza, esso avrà anche due lati congruenti:

.

Ora consideriamo i triangoli

e

. Essi hanno:

• [math]hat{BA'C} = hat{CAB}[/math]
  per la precedente dimostrazione;
• [math]hat{A'BQ} = hat{ACQ}[/math]
  perché differenze di angoli congruenti;
• [math]A'B = AC [/math]
  per ipotesi.

Di conseguenza, per il per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, i triangoli

e

sono congruenti.