Geometria biennio superiori: Sono date cinque semirette a , b, c , d , e, tutte di origine O , formanti i quattro angoli congruenti ab, bc , cd , de. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti ...

Sono date cinque semirette

,

,

,

,

, tutte di origine

, formanti i quattro angoli congruenti

,

,

,

. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti

,

,

,

,

in modo che sia

.

Dimostra che

e

.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli

e

.

Essi hanno:

• [math]EO = BO[/math]
  per ipotesi;
• [math]AO[/math]
  in comune;
• [math]hat{EOA} = hat{AOB}[/math]
  per ipotesi;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruente, i triangoli

e

sono congruenti.

Possiamo dedurre quindi che

.

Seguiamo lo stesso ragionamento per i triangoli

,

e

, tutti tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruente.

Abbiamo quindi dimostrato che

.

Ora consideriamo i triangoli

e

; essi hanno:

• [math]EO = AO [/math]
  per ipotesi;
• [math]OC[/math]
  in comune;
• [math]hat{EOC} = hat{AOC}[/math]
  perché somme di angoli congruenti;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruente, i triangoli

e

sono congruenti.

In particolare risulta che

.