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Progressioni Geometriche - Formula Risolutiva


Definizione

Una progressione geometrica di numeri reali
[math]a_1, a_2, a_3, ..., a_n[/math]
è una successione di numeri reali in cui il rapporto tra due termini consecutivi resta sempre costante. Tale rapporto viene chiamato ragione e si indica con
[math]r[/math]
. In formule:
[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=r[/math]

Formula

La somma dei primi
[math]k[/math]
termini di una progressione geometrica di ragione
[math]r[/math]
vale:
[math]\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i = a_1(\frac{r^k-1}{r-1})[/math]
.

Dimostrazione

Dimostriamo questa proprietà con il Principio di Induzione.

Passo base
Per
[math]k=1[/math]
si ha:
[math]a_1=a_1(\frac{r-1}{r-1})=a_1[/math]
, che è banalmente vera.
Passo induttivo
Supponiamo che la proprietà sia vera fino a un certo
[math]k[/math]
, dimostriamo che essa vale anche per
[math]k+1[/math]
.
Vogliamo quindi dimostrare che:
[math]\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i + a_{k+1}=a_1(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})[/math]
.
Per ipotesi induttiva:
[math]\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i = a_1(\frac{r^k-1}{r-1})[/math]
.
Ma per definizione di progressione geometrica:
[math]a_{k+1}=a_1*r^k[/math]
.
Ma allora:
[math]a_1(\frac{r^k-1}{r-1})+a_1*r^k = a_1(\frac{r^k-1}{r-1}+r^k)=a_1(\frac{r^k-1+r^k(r-1)}{r-1})=a_1(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})[/math]
che è l'uguaglianza che volevamo dimostrare.
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