In questo appunto parleremo di progressioni geometriche, ovvero successioni di numeri reali che hanno determinate proprietà.
Per ultimo verrà proposto un esempio di calcolo di una somma di un certo numero di termini di una progressione geometrica. Vediamo prima di tutto la teoria.
Definizione
Una progressione geometrica di numeri reali[math]a_1, a_2, a_3, ..., a_n[/math]
è una successione di numeri reali in cui il rapporto tra due termini consecutivi resta sempre costante. Tale rapporto viene chiamato ragione e si indica con [math]r[/math]
. In formule: [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=r[/math]
Formula
La somma dei primi[math]k[/math]
termini di una progressione geometrica di ragione [math]r[/math]
vale:
[math]\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i = a_1 \left (\frac{r^{k}-1}{r-1} \right )[/math]
Dimostrazione
Dimostriamo questa proprietà con il Principio di Induzione.Passo base
Per
[math]k=1[/math]
si ha: [math]a_1=a_1 \left (\frac{r-1}{r-1} \right )=a_1[/math]
, che è banalmente vera.Passo induttivo
Supponiamo che la proprietà sia vera fino a un certo
[math]k[/math]
, dimostriamo che essa vale anche per [math]k+1[/math]
.Vogliamo quindi dimostrare che:
[math]\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i + a_{k+1}=a_1 \left (\frac{r^{k+1}-1}{r-1} \right )[/math]
[math]\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i = a_1(\frac{r^k-1}{r-1})[/math]
[math]a_{k+1}=a_1 \cdot r^k[/math]
.E allora:
[math]a_1(\frac{r^k-1}{r-1})+a_1 \cdot r^k = a_1\left ( \frac{r^k-1}{r-1}+r^k \right )=a_1 \left (\frac{r^k-1+r^k(r-1)}{r-1} \right )=a_1 \left (\frac{r^{k+1}-1}{r-1} \right )[/math]
Esempio 1
Applichiamo ora la formula per calcolare il valore della somma:[math] 3 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{10} [/math]
[math] r = 2 [/math]
perché ogni termine "guadagna" un fattore [math] 2 [/math]
ogni volta!Inoltre il primo termine è
[math] a_1 = 3 [/math]
, pertanto la somma cercata è:[math] 3 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{10} = 3 \cdot \left ( \frac{2^{11}-1}{2-1} \right ) = 3 \cdot (2^{11}-1) [/math]
Esempio 2
Vediamo ora un esempio un po' più "strano". Vogliamo calcolare la seguente somma a segni alterni:[math] -1 + 2 - 2^2 + 2^3 - 2^4 + 2^5 - \dots -2^{10} [/math]
In alternativa si può notare che la quantità sopra è una progressione geometrica di ragione
[math] -2 [/math]
! In effetti ogni termine ha rapporto col precedente che è uguale a [math] -2 [/math]
.Si ha quindi che la quantità richiesta è:
[math] (-1) \cdot \left ( \frac{(-2)^{11}-1}{-2-1} \right )[/math]
[math] -1 \cdot \frac{-2049}{-3} = -683 [/math]
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