Trasformazioni geometriche nel piano: percorso didattico con Cabri

SSIS Puglia

Scuola Regionale Interateneo di Specializzazione per la Formazione degli Insegnanti della Scuola Secondaria

Relazione finale sull’attività di tirocinio

Indirizzo: Fisico-Informatico-Matematico

Classe di abilitazione: A049 (Matematica e Fisica)

Supervisore: Prof. Lucio Vernich

Tutor: Prof. Domenico Masella

Specializzanda: Maria Spagnulo

Biennio Accademico 2004/06

Il liceo Moscati

Indice

Trasformazioni geometriche del piano

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche .........................................................4

Trasformazioni geometriche del piano

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche .........................................................6

Suddivisione acroscopica

...............................................................................8

Suddivisione dettagliata dei contenuti

Contenuto A ..................................................................................................................................... 8

...............................................................................8

Introduzione all’argomento delle trasformazioni

................................................................................................................................17

Affinità

Approccio intuitivo ................................................................................................................................ 17

...................................................................................................19

Tipi particolari di affinità

Contenuto B: Le isometrie piane .................................................................................................... 20

...................................................................20

Simmetrie assiali o ribaltamenti o riflessioni

Simmetria assiale di asse quello delle ascisse .............................................................. 25

Simmetria assiale di asse quello delle ordinate ................................................................ 26

Simmetria assiale di asse una retta parallela all’asse delle ascisse ................................. 26

Simmetria assiale di asse una retta parallela all’asse delle ordinate .............................. 26

Simmetria assiale di asse la bisettrice del 1° e 3° quadrante di equazione y = x ........... 26

Simmetria assiale di asse la bisettrice del 2° e 4° quadrante di equazione y = - x ......... 27

Simmetria assiale di asse una retta non parallela agli assi coordinati ............................ 27

Contenuto C: Composizione di simmetrie ..................................................................................... 28

..........................................................................................................................28

Traslazioni

........................................................................................................................30

Rotazioni

.............................................................................................................................31

Rotazioni

Rotazioni particolari ......................................................................................................... 32

.............................................................................................................35

Simmetrie centrali

Contenuto D: Le omotetie .............................................................................................................. 37

.....................................................................................37

Concetti introduttivi e definizione

........................................................................................................38

Omotetie particolari

..........................................................................................................................41

Similitudini

............................................................................................................................43

Nota storica: le trasformazioni e la musica

.....................................................................44

Nota storica: le trasformazioni e la musica

......................................................................................45

Un esempio applicativo: il biliardo

Bibliografia ...........................................................................................................................................49

Dott. Maria Spagnulo

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche del piano

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche del piano

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

Introduzione

Con la presente unità didattica si vuole delineare un percorso che consenta allo studente di comprendere il concetto di trasformazione geometrica e classificarne le varie tipologie sia dal punto di vista grafico che dal punto di vista analitico. L’attività si è svolta fondamentalmente in laboratorio d’Informatica tramite l’utilizzo di slide e del programma Cabri che sono stati presentati in parallelo per dare la possibilità allo studente di verificare immediatamente le proprietà che di volta in volta vengono enunciate e di costruire egli stesso alcune trasformazioni particolari che si possono ottenere dalla composizione di altre viste in precedenza.

All’inizio di ogni lezione ho riassunto gli argomenti della lezione precedente tramite un rapido scambio di battute con il gruppo classe e tramite l’utilizzo di mappe concettuali, così come al termine di ogni lezione sempre tramite l’utilizzo di mappe concettuali ho tracciato un breve riassunto evidenziando le parti più significative. Ho esplicitato le conoscenze e competenze richieste per ogni porzione di contenuto. Al termine del percorso ho proposto un test finale da me redatto con scopo di verifica sommativa sul raggiungimento degli obiettivi dichiarati; ho comunicato anche la percentuale per cui ogni esercizio concorre alla valutazione totale. Il compito, corretto e valutato, è stato riconsegnato in classe con una correzione collettiva e un commento individualizzato per ogni alunno.

Collocazione nel curricolo

L’argomento va inserito o nel secondo bimestre di una III liceo scientifico PNI o nell’ultimo modulo della programmazione curriculare di una III liceo scientifico tradizionale.

Tempo richiesto

14 ore

Prerequisiti

• Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria euclidea;
• Conoscenza degli elementi fondamentali del piano cartesiano;
• Eventuale conoscenza di elementi di Geometria dello spazio;
• Conoscenza degli elementi fondamentali dell’algebra delle matrici;
• Conoscenza degli elementi fondamentali delle funzioni trigonometriche e delle loro proprietà;
• Risoluzione di equazioni, sistemi e disequazioni.

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

• Concetto di congruenza;
• Perpendicolarità e parallelismo fra rette;
• Concetto di relazione e funzione;
• Elementi di calcolo matriciale;
• Concetto di vettore e le operazioni relative.

Obiettivi cognitivi

• Conoscere le definizioni delle trasformazioni geometriche presentate e le relative equazioni;
• Acquisire il concetto di trasformazione del piano;
• Acquisire dimestichezza con i vari tipi di trasformazioni;
• Saper enunciare i teoremi relativi.

Obiettivi operativi

• Saper ricavare le equazioni di una trasformazione;
• Saper ricavare l’espressione analitica dalla curva trasformata;
• Riconoscere il tipo di trasformazione e classificarle;
• Applicare i teoremi relativi;
• Saperle applicare alla Fisica (moti relativi);
• Costruire la figura trasformata di una data;
• Costruire ingrandimenti e riduzioni in scala di una figura piana;
• Individuare gli invarianti di una trasformazione;
• Riconoscere figure simmetriche;
• Classificare i poligoni in base alle loro proprietà di simmetria;
• Riconoscere figure omotetiche e disegnare la corrispondente in una omotetia di una figura;
• Effettuare la traslazione di una figura;
• Effettuare la rotazione di una figura;
• Trovare il vettore che caratterizza una traslazione;
• Eseguire una trasformazione con Cabri.

Obiettivi formativi

• Uso di un linguaggio pertinente e appropriato;
• Saper scegliere la migliore strategia tra quelle proposte (sintetica, analitica o grafica) per la risoluzione di problemi;
• Sviluppare la capacità di rilevare la presenza di isometrie in natura e nelle opere artistiche.

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

• Sviluppare capacità intuitive, logiche, analitiche e sintetiche;
• Acquisire l’attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente quanto viene via via appreso;
• Acquisire l’attitudine a studiare ogni questione attraverso l’analisi di tutti i suoi fattori.

Mezzi

• Libro di testo;
• Lavagna e gesso;
• Fotocopie;
• Lucidi;
• Presentazione con MS-Power Point;
• Laboratorio d’Informatica.

Suddivisione acroscopica

• Contenuto A: 3 ore
• Introduzione all’argomento delle trasformazioni;
• Esempi di figure trasformate mediante trasformazioni geometriche di vario tipo (ombre, foglio di gomma, movimento della giostra, specchi, caleidoscopio);
• Definizione di affinità;
• Proprietà delle affinità;
• Equazioni delle affinità;
• Classificazione delle affinità.

• Contenuto B: 3 ore
• Definizione di isometria;
• Proprietà delle isometrie;
• Classificazione delle isometrie;
• Definizione di simmetrie;
• Classificazione delle simmetrie:
• Simmetrie assiali;
• Simmetrie centrali;
• Proprietà delle simmetrie;
• Equazioni delle simmetrie;
• Figure dotate di un asse di simmetria.

• Contenuto C: 3 ore
• Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche
• Composizione di simmetrie:
• Traslazione;
• Rotazione;
• Simmetria centrale.

• Contenuto D: 3 ore
• Definizione, Proprietà, Equazioni e Classificazione di omotetie con cenni di richiamo a uguaglianza e similitudine (k = 1, k diverso da 1);
• Nota storica: Le Trasformazioni e la Musica;
• Un esempio applicativo: Il Biliardo.

• Contenuto E: 1 ora
• Verifica formativa/sommativa.

Metodologie

• “Problem-solving”;
• Intergruppo;
• Lezione frontale;
• Lezione in laboratorio d’Informatica: utilizzo di Cabri; volte alla scoperta di nessi, relazioni e leggi;
• Esercitazioni guidate;
• Esercizi a casa.

Verifica e valutazione

Le verifiche saranno di due tipi in itinere e sommativa, la valutazione seguirà la griglia di valutazione del POF.

Tipo di verifica: orale, scritta (tramite prova strutturata).

Attività di recupero

Ripetizione, tramite mappe concettuali e applicazione degli argomenti alla geometria descrittiva, dei contenuti fondamentali e delle proprietà fondamentali sia tramite lezione frontale sia tramite approfondimenti in laboratorio.

Verifica di recupero

Tramite prova orale e scritta.

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

Suddivisione dettagliata dei contenuti

Contenuto A

Introduzione all’argomento delle trasformazioni

Idea intuitiva

Per introdurre le trasformazioni geometriche sono partita direttamente dalla figura seguente:

Ho posto i ragazzi dinanzi all’osservazione delle figure A, B, C, D, F per cercare di farli capire intuitivamente quale nesso poteva legarle.

Figura 1: Alcune trasformazioni della figura F

Ho quindi osservato che, due figure piane (rappresentate su un sistema monometrico) sono uguali se sono completamente sovrapponibili (questo si può ottenere ricalcando una figura qualsiasi (originale) su un supporto trasparente come un foglio lucido o una lastra di vetro).

Che cosa succederebbe se invece di ricalcare semplicemente,

Domanda stimolo:

Proiettassimo tramite una lampada, la figura origine su un foglio inclinato, oppure ricalcassimo su un supporto ondulato, cioè non piano?

Potremmo osservare le trasformazioni proposte in Figura.

In particolare, possiamo costruire una funzione che trasforma le coordinate (x,y) di ogni punto della figura originale nelle coordinate (x',y') di ogni punto corrispondente della figura trasformata. Di che tipo è questa particolare funzione?

Domanda stimolo:

Non può essere una funzione qualunque. Ad es.: l’applicazione (x,y) → (x',y') = (2x,y) raddoppia le x, per cui i punti della figura verrebbero trasformati nei punti della figura F C, è alta come F ma più larga; l’applicazione (x,y) → (x',y') = (x/3,y/3) trasforma F in F B con la stessa forma ma più piccola (il fattore di scala è 1/3); mentre la figura D è stata ottenuta trasformando i punti di F con una funzione (x,y) → (x',y') più complicata; ha un’evidente “parentela” con F (anch’essa è formata da una curva con 4 “punti angolosi” che ha al suo interno una curva “liscia”, …), ma è deformata come se fosse stata tirata in varie direzioni.

Invece la figura A sembra essere ottenibile mediante uno scorrimento di un vetro su cui si sia ricalcata F (con “far scorrere” il vetro intendo sia trascinarlo che cambiarne l’orientamento, cioè ruotarlo).

In modo del tutto intuitivo li ho portati quindi a capire che esistono in generale vari tipi di trasformazioni: quelle che trasformano una figura in una congruente, quelle che la trasformano in una simile e infine quelle che la deformano.

D’altra parte la vita quotidiana ci presenta una molteplicità di esempi di trasformazioni che noi osserviamo, anche se la nostra attenzione è spesso più rivolta a cogliere gli aspetti e le caratteristiche dell’oggetto trasformato piuttosto che al procedimento che ha determinato la trasformazione stessa. Nella figura seguente sono mostrati alcuni esempi di trasformazione:

Il caso a) è un esempio di trasformazione che non conserva alcuna delle caratteristiche geometriche della figura iniziale.

Il caso b) è un esempio di trasformazione in cui il disegno del cartello e la sua fotografia presentano la stessa forma.

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

Il caso c) è un esempio di trasformazione in cui ogni punto interno o esterno al tessuto disteso rimane interno o esterno al tessuto tirato in più direzioni. In generale esempi comunissimi sono costituiti dalle deformazioni che subiscono i corpi elastici: si pensi alla deformazione che subisce una gomma per cancellare quando viene piegata o ad un taglio di stoffa “stretch” che viene deformato senza che si verifichino lacerazioni o sovrapposizioni.

Il caso d) è un esempio di trasformazione che conserva i punti interni ed esterni e mantiene l’allineamento dei punti.

La cosa interessante è che una figura può essere trasformata mediante delle relazioni che saranno rappresentate da equazioni matematiche.

Attività stimolo

Per far visualizzare agli studenti le caratteristiche delle trasformazioni si può fare una semplice esperienza utilizzando una tela elastica su cui viene disegnato un rettangolo e facendo osservare la figura ottenuta dilatando la tela. Le domande che si possono porre agli studenti sono le seguenti:

• La figura ha ancora gli angoli retti?
• La figura ha mantenuto i lati della stessa lunghezza?
• La figura ha ancora i lati paralleli?
• La figura ha ancora i lati rettilinei?
• Se disegnassi il rettangolo con i lati paralleli al “bordo della tela”, che figura otterrei?

Disegnare la figura prevista.

La stessa esperienza può essere ripetuta disegnando un cerchio e ponendo le seguenti domande:

• La figura è ancora un cerchio?
• La figura ha mantenuto tutti i raggi della stessa lunghezza?
• I diametri rimangono rettilinei?

Il concetto di trasformazione geometrica è poi essenziale in tutti i processi di rappresentazione piana di un oggetto tridimensionale.

Semplici esempi sono forniti al riguardo dal disegno “dal vero” o dalla fotografia che costituiscono la rappresentazione in due dimensioni di un oggetto tridimensionale.

Altro esempio è dato dalle carte geografiche la cui realizzazione è legata al problema di rappresentare su un piano una parte di superficie sferica. La parte di superficie terrestre che si rappresenta viene trasformata poiché ogni suo punto dovrà essere proiettato sul foglio di carta.

Un altro esempio comune di trasformazione dovuta alla rappresentazione su una superficie di oggetti tridimensionali è l’immagine riflessa in uno specchio: si ottengono trasformazioni

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

diverse a seconda che lo specchio sia piano, convesso con curvatura in orizzontale oppure convesso con curvatura in verticale.

Altri comunissimi esempi di trasformazioni geometriche nella vita quotidiana sono gli ingrandimenti fotografici e le ombre prodotte da sorgenti luminose puntiformi o estese come il sole.

Esempi analoghi sono costituiti dalla proiezione di diapositive con il proiettore disposto secondo diverse inclinazioni.