Problemi sulle rette

di _stan

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Esempio 1: Dire quali delle rette date sono parallele e quali ortogonali:

[math] \displaystyle a: y = x + 4 \, \, , \, \, b: y = - x - 2 \, \, , \, \, c: y = [/math]

[math] \displaystyle = \frac{x}{2} + 1 \, \, , \, \, d: y = 5 -x \, \, , \, \, e: y = 2 - 2x[/math]

Per risolvere questo esercizio potremmo certamente intersecare tutte le rette due a due e constatare così se ci sono punti d'intersezione; ma questo metodo è molto lungo e inutilmente complicato, dal momento che non ci stato richiesto di scoprire le coordinate degli eventuali punti d'intersezione. Troviamo i coefficienti angolari delle rette:

[math] \displaystyle m_a = 1, \, \, m_b = -1, \, \, m_c = \frac{1}{2}, \, \, m_d = -1, \, \, m_e = -2[/math]

Poiché due rette parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare, l'unica coppia di parallele presente è quella costituita dalle rette ? e ?. Dal momento che inoltre

[math] \displaystyle m_am_b = m_am_d = m_cm_e = -1[/math]

le coppie di rette

[math] \displaystyle {a, b}, {a, d}, {c, e}[/math]

sono costituite da rette ortogonali. Tutte le altre coppie di rette possibili non sono parallele, ma nemmeno perpendicolari: ne consegue che sono semplicemente incidenti.

Esempio 2: Si trovino i punti d'intersezione delle coppie di rette {?,?},{?,?},{?,?}

Dall'esempio precedente risulta che la prima coppia è costituita da rette ortogonali, la seconda da parallele e la terza da rette incidenti. Per determinare le intersezioni, che questa volta ci sono state richieste esplicitamente, risolviamo i tre sistemi seguenti:

[math] \displaystyle \begin{cases} y = x+4 \\ y = -x - 2 \end{cases} \, \, \, \, \begin{cases} y=-x-2 \\ y = 5-x \end{cases} \, \, \, \, \begin{cases}y = 5-x \\ y = 2 -2x \end{cases}[/math]

Essi si risolvono tutti facilmente. Il primo e il terzo danno rispettivamente

[math] (?3,1) [/math]

[math] (?3,8) [/math]

, mentre il secondo impossibile: sottraendo membro a membro abbiamo infatti

[math] 0 =?7 [/math]

, che è naturalmente falsa. Quindi mentre le intersezioni della prima e della terza coppia di rette sono

[math] (?3,1) [/math]

[math] (?3,8) [/math]

, la seconda coppia non ha punti dintersezione; ciò non sorprende, poiché come già sapevamo essa è formata da rette parallele.

Esempio 3: Si trovi la retta passante per i punti

[math] \displaystyle A\Big(-1, \frac{2}{3}\Big)[/math]

[math] B\Big(\frac{1}{3}, 2 \Big)[/math]

Per questo semplice esempio basta applicare la formula per la retta tra due punti:

[math] \displaystyle \frac{y-y_A}{y_B-y_A} = \frac{x-x_A}{x_B-x_A} \rightarrow \frac{y-\frac{2}{3}}{2-\frac{2}{3}} = \frac{x-(-1)}{\frac{1}{3}-(-1)} \rightarrow[/math]

[math] \displaystyle \rightarrow \frac{3}{4} \Big(y-\frac{2}{3}\Big) = \frac{3}{4} (x+1) \rightarrow y = x + \frac{5}{3}[/math]

Dunque l'unica retta che passa per ? e ? quella di equazione

[math] \displaystyle y = x + \frac{5}{3}[/math]

Alternativamente, avremmo potuto trovare l'equazione del fascio proprio di centro ? e quindi cercare quell'unica sua retta passante per ?: questo metodo ci avrebbe portato, attraverso una strada più lunga, al medesimo risultato.

Esempio 4: Si trovi l'asse del segmento i cui estremi sono i punti

[math] \displaystyle A \Big(-1, \frac{2}{3}\Big)[/math]

[math] \displaystyle B\Big(\frac{1}{3}, 2\Big)[/math]

Cominciamo col trovare il punto medio del segmento ??: per definizione le sue coordinate sono le medie di quelle dei punti ? e ?, cioé

[math] \displaystyle M\Big(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \Big) \rightarrow M\Big(\frac{-1+\frac{1}{3}}{2}, \frac{\frac{2}{3}}{2} \Big) \rightarrow M\Big(-\frac{1}{3}, \frac{4}{3} \Big)[/math]

l'asse del segmento ?? l'unica retta passante per ? che sia ortogonale ad ??; bisogna quindi calcolare l'equazione del fascio proprio di punto base ?, cioé

[math] \displaystyle \phi: \Big(- \frac{4}{3} \Big) = m \Big(x + \frac{1}{3}\Big) \rightarrow 3y - 4 = 3mx + m[/math]

e richiedere che il parametro ? sia esattamente ?1/???, il che assicura l'ortogonalità. Dall'esempio precedente sappiamo che la retta passante per ? e ? ha coefficiente angolare

[math] \displaystyle m_{AB} = 1[/math]

, col che l? da sostituire sarà ?1, e l'asse del segmento avrà equazione

[math] \displaystyle 3y - 4 = -3x - 1 \rightarrow 3y = -3x + 3 \rightarrow y = 1 - x[/math]

Esempio 5: Si trovino le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti di equazioni

[math] \displaystyle r_1: y = \frac{x}{\sqrt{3}} + 1, \, \, r_2: y = \sqrt{3}x + 3[/math]

Scriviamo le equazioni delle due rette date in forma implicita attraverso semplici passaggi:

[math] \displaystyle r_1: x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0 \, \, \, \, , \, \, \, \, r_2: \sqrt{3}x - y + 3 = 0[/math]

Non ci resta che applicare la formula trovata in teoria per le bisettrici di due rette date in forma implicita; le loro equazioni possono essere scritte insieme nel modo seguente

[math] \displaystyle \frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}[/math]

nel quale i numeri ?,?,? indiciati che compaiono sono naturalmente i coefficienti delle rette. Sostituendo, avremo

[math] \displaystyle \frac{x-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{1^2(-\sqrt{3})^2}} = [/math]

[math] \displaystyle = \pm \frac{\sqrt{3}x-y+3}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}} \rightarrow \frac{x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}x-y+3}{\sqrt{4}}[/math]

[math] \displaystyle x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = \pm (\sqrt{3} x - y + 3)[/math]

il che ci dà le due rette di equazioni

[math] \displaystyle b_1: (1-\sqrt{3})x + (1-\sqrt{3})y + \sqrt{3}(1-\sqrt{3}) = [/math]

[math] \displaystyle = 0 \rightarrow x + y + \sqrt{3} = 0[/math]

[math] \displaystyle b_2: (1+\sqrt{3})x - (1+\sqrt{3})y + \sqrt{3}(1+\sqrt{3}) = [/math]

[math] \displaystyle = 0 \rightarrow x - y + \sqrt{3} = 0[/math]

Esse sono le bisettrici ricercate. Potremmo verificare senza difficoltà che la loro unica intersezione coincide con quella delle rette

[math] r_1 [/math]

[math] r_2 [/math]

, come anche che

[math] b_1 \_|\_ b_2 [/math]

: queste sono proprietà geometriche sempre verificate dalle bisettrici degli angoli di due rette incidenti, e non dipendono dai particolari coefficienti scelti per le rette di questo esempio.

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