Determinare il luogo dei vertici del seguente fascio di parabole: ...

di _francesca.ricci

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Determinare il luogo dei vertici del seguente fascio di parabole:

[math] y = x^2 - (m-1)x + 1 , m â â [/math]

Rappresentiamo nel piano cartesiano il fascio di parabole:

Troviamo il vertice generico del fascio di parabole:

[math] x_V = - frac(b)(2a) = - frac(- (m-1))(2) = frac(m-1)(2) [/math]

Quindi abbiamo :

[math] V ( frac(m-1)(2) ; y_V ) [/math]

Troviamo l'ordinata del vertice sostituendo l'ascissa all'equazione del fascio di parabole:

[math] y_V = (frac(m-1)(2))^2 - (m-1) \cdot frac(m-1)(2) + 1 = [/math]

[math] frac(m^2 + 1 - 2m)(4) - frac((m-1)(m-1))(2) + 1 = frac(m^2 + 1 - 2m)(4) - frac((m-1)^2)(2) +1 = [/math]

[math] frac(m^2 + 1 - 2m)(4) - frac(m^2 + 1 - 2m)(2) +1 = frac(m^2 + 1 - 2m - 2m^2 - 2 + 4m + 4)(4)=[/math]

[math] frac( - m^2 + 2m + 3)(4) [/math]

Quindi abbiamo :

[math] V ( frac(m-1)(2) ; frac( - m^2 + 2m + 3)(4) ) [/math]

Ora impostiamo un sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x_V = frac{m - 1}{2} &\
y_V = - frac{m^2 - 2m - 3}{4} &
end{array}\right.
[math][/math]

Dalla prima equazione ricaviamo m:

[math] m = 2 x_V + 1 [/math]

Ora, sostituiamo il valore di m trovato alla seconda equazione e otterremmo l'equazione del luogo geometrico dei vertici delle parabole:

[math] y = - frac((2x + 1)^2 - 2 (2x + 1) - 3)(4) [/math]

[math] y = - frac(4x^2 + 1 + 4x - 4x - 2 - 3)(4) [/math]

[math] y = - frac(4x^2 - 4)(4) \to y = - x^2 + 1 [/math]

Abbiamo ottenuto, come luogo geometrico dei vertici del fascio di parabole, una parabola.

Esercizio di geometria analitica : determinare il luogo dei vertici rappresentato da un fascio di parabole