Problemi elementari sull'ellisse

Esempi di problemi elementari sullellisse

Dal momento che lellisse richiesta riferita ai propri assi, essa in generale avr equazione

[ frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 ]

indipendentemente che i suoi fuochi siano situati sullasse ? o sullasse ?. Nel primo dei due casi, il semiasse maggiore sar ( a = frac{3}{2} ), mentre nellaltro caso avremo ( b = frac{3}{2} ) per lo stesso motivo.

( frac{x^2}{Big(frac{3}{2} Big)^2} + frac{y^2}{Big(frac{3}{4}Big)^2} = 1 Rightarrow 4x^2+16y^2 = 9 )

( frac{x^2}{Big(frac{3}{4} Big)^2} + frac{y^2}{Big(frac{3}{2}Big)^2} = 1 Rightarrow 16x^2+4y^2 = 9 )

Esempio 2: Trovare le lunghezze degli assi, la distanza focale, leccentricit e le coordinate dei vertici e dei fuochi dellellisse ? di equazione

In primo luogo, occorre verificare che lequazione data rappresenti davvero unellisse. Le condizioni che devono essere soddisfatte a questo proposito sono

[ mn gt 0 ,,,, , ,,,, frac{p^2}{4m} + frac{q^2}{4n} gt r ]

dove i coefficienti che appaiono sono quelli dellequazione generale per unellisse traslata (mx^2+ny^2+px+qy+r=0 ). Poich nel nostro caso risulta ?=20, ?=45, ?=?8,

?=?36, ?=?712, le due disequazioni sono facilmente verificate, e dunque ? una ellisse. Conviene adesso adoperare il metodo di completamento dei quadrati per scrivere lequazione in modo pi accessibile:

( 20 Big(x^2 -frac{2}{5}x Big) + 45Big(y^2-frac{4}{5}y Big) = 712 )

( 20 Big(x^2 -frac{2}{5}x +frac{1}{25}Big) + 45Big(y^2-frac{4}{5}y + frac{4}{25}Big) = 712 +frac{4}{5}+frac{36}{5} )

( 20 Big(x-frac{1}{5}Big)^2+45Big(y-frac{2}{5}Big)^2 = 720 )

Tale equazione ci dice che il centro dellellisse il punto ( CBig(frac{1}{5}, frac{2}{5} Big) ), e che i semiassi maggiore e minore sono lunghi rispettivamente ?=6 e ?=4; ne consegue che gli assi misurano 12 e 8. Poich ( a gt b ), questa ellisse ha i fuochi situati su una parallela allasse delle ascisse: ci significa che ( c = sqrt{a^2-b^2} = sqrt{36-16} = sqrt{20} = 2sqrt{5} ), e che i fuochi hanno coordinate ( F_{1,2}Big(frac{1}{5}pm 2sqrt{5},frac{2}{5} Big) ); inoltre la distanza focale ( 2c = 4sqrt{5} ). Calcoliamo ora leccentricit: dal momento che essa il rapporto tra la distanza focale e lasse maggiore, nel nostro caso avremo

( e = frac{c}{a}=frac{2sqrt{5}}{6}=frac{sqrt{5}}{3} approx 0.74 )

Per trovare infine le coordinate dei vertici, possiamo adoperare due diversi metodi: il primo consiste nel trovare le rette parallele agli assi coordinati passanti per il centro e intersecarle con lequazione di ?, in maniera tale da ottenere i vertici come da definizione; il secondo, ben pi semplice, richiede solo di osservare che i vertici distano dal centro (a destra e a sinistra e in alto e in basso) esattamente della lunghezza di un semiasse (maggiore o minore). Dunque

( A_{1,2}Big(frac{1}{5} pm 6, frac{2}{5} Big) Rightarrow A_1Big(-frac{29}{5}, frac{2}{5} Big) ,,,, , ,,,,A_2Big(frac{31}{5}, frac{2}{5} Big) )

( B_{1,2}Big(frac{1}{5}, frac{2}{5} pm 4 Big) Rightarrow B_1Big(frac{1}{5}, -frac{18}{5} Big) ,,,, , ,,,, B_2Big(frac{1}{5}, frac{22}{5} Big) )

Esempio 3: Determinare lequazione dellellisse i cui fuochi sono i punti ( F_1Big( 1, frac{3}{5} Big) ) e ( F_2Big(1, frac{7}{5} Big) ) tale che la somma delle distanze di ognuno dei suoi punti dai fuochi valga ?.

In quanto i fuochi si trovano entrambi sulla retta verticale ?=1, lellisse della qual stiamo parlando traslata, e ha ( b gt a ). Cominciamo col trovarne il centro ?: essendo esso il punto medio del segmento i cui estremi sono i fuochi, avremo

( CBig(frac{1+1}{2}, frac{frac{3}{5}+frac{7}{5}}{2} Big) Rightarrow C(1, 1) )

Inoltre la distanza focale ( 2c = F_1F_2 = frac{7}{5}-frac{3}{5}=frac{4}{5} ) , da cui segue subito ?=25 . Poich per la definizione stessa di ellisse con asse maggiore parallelo allasse delle ? vale che la somma delle distanze di un generico punto dai fuochi 2?, nel nostro caso risulta ( 2b = 2
ightarrow b = 1 ). Questo, assieme al risultato precedente, consente di dire che

( a = sqrt{b^2-a^2} = sqrt{1-frac{4}{25}} = frac{sqrt{21}}{5} )

Disponiamo adesso di tutti i dati necessari per scrivere lequazione dellellisse:

( E: frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_o)^2}{b^2}=1 Rightarrow E: frac{5(x-1)^2}{21}+(y-1)^2 = 1 )

Volendo, possiamo svolgere i calcoli e finire con lo scrivere lequazione dellellisse in forma generale:

( E: 5x^2+21y^2-10x-42y+5 = 0 )

Esempio 4: Trovare lequazione dellunica ellisse riferita ai propri assi passante per i punti ( P(sqrt{3}, sqrt{3}) ) e ( QBig(2sqrt{2}, frac{2sqrt{3}}{3} Big) ).

Lequazione di unellisse del tipo richiesto si scrive come ( frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1). Come si vede, essa ha due parametri da determinare, e quindi tutto ci che ci occorre sono due condizioni indipendenti; il passaggio dellellisse per i punti ? e ? consente quindi di risolvere il problema. Risolviamo il seguente sistema:

( egin{cases}frac{3}{a^2}+frac{3}{b^2}=1 \ frac{8}{a^2}+frac{4}{3b^2} = 1 end{cases} Rightarrow egin{cases} 3alpha + 3eta = 1 \ 8alpha + frac{4}{3}eta = 1 end{cases} Rightarrowegin{cases} alpha = frac{1}{12} \ eta = frac{1}{4} end{cases} Rightarrowegin{cases} a = sqrt{12} \ b = 2 end{cases} )

Nel secondo passaggio abbiamo posto ( alpha = frac{1}{a^2} ) e ( eta = frac{1}{b^2} ) per agevolare la risoluzione. Lellisse ricercata perci ( E: frac{x^2}{12}+frac{y^2}{4}=1 ).

Osservazione 1: Se nellesempio 4 la richiesta non fosse stata esplicitamente quella di trovare unellisse riferita ai propri assi, il problema sarebbe stato indeterminato. Infatti, come segue chiaramente dal fatto che lequazione generale di unellisse ha 5 parametri, una generica ellisse unicamente determinata da non meno di 4 suoi punti.