Poligoni - Decagono e sezione aurea

In questo appunto di matematica si tratta un poligono particolare, il decagono, illustrandone proprietà e caratteristiche.

I poligoni

Si consideri una poligonale chiusa tale che, considerati due suoi qualunque vertici consecutivi, tutti i restanti vertici appartengono ad uno solo dei due semipiani che ha per origine i due vertici di partenza.
Sia

tale semipiano ed

, gli altri semipiani che hanno per origine gli altri vertici, allora chiameremo poligono convesso la figura ottenuta dall’intersezione dei semipiani

.
Tale poligono può essere pensato anche come l’intersezione degli angoli convessi formati dalle varie coppie di angoli consecutivi della poligonale.
I vertici ed i lati della poligonale sono i vertici ed i lati del poligono.

La poligonale che determina un poligono è chiamata anche contorno del poligono, mentre il segmento ottenuto dalla somma dei lati si chiama perimetro del poligono.
Gli elementi di un poligono sono i suoi angoli ed i suoi lati, mentre i segmenti che congiungono vertici non consecutivi si chiamano diagonali:
il numero delle diagonali di un poligono si trova tramite la seguente espressione
d = n x (n - 3) : 2
Chiameremo corda di un poligono qualunque segmento che unisce due punti che non siano sullo stesso lato.
I poligoni convessi sono figure convesse poiché ottenuti dall’intersezione di figure convesse.

Relazioni fra lati ed angoli di un poligono

In un poligono un lato è sempre minore della somma di tutti gli altri.
La somma degli angoli interni di un poligono convesso è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati, meno un angolo giro:
siano A_1, …, A_n gli angoli interni del poligono e sia n il numero dei suoi lati, la somma S di tali angoli è data dalla seguente espressione

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è uguale ad un angolo giro, qualunque sia il numero dei suoi lati.

Poligoni e circonferenza inscritta e circoscritta

Diremo che un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono a questa e diremo che tale circonferenza è circoscritta al poligono.
Diremo che un poligono è circoscritto ad una circonferenza quando ogni suo lato è tangente alla circonferenza; in questo caso diremo che la circonferenza è inscritta nel poligono.
In maniera del tutto analoga diremo che un poligono è inscritto o circoscritto ad un cerchio se è inscritto o circoscritto alla circonferenza che delimita tale cerchio.

Poligoni regolari

Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
Ne discende un importante teorema: se una circonferenza è divisa in n archi uguali, il poligono che si ottiene congiungendo successivamente i punti di divisione è regolare.
Tale teorema è facilmente dimostrabile sulla base del fatto che i lati del poligono ottenuto saranno necessariamente tutti uguali per costruzione; anche gli angoli saranno tutti uguali perché corrispondenti ad angoli uguali. Da tali considerazioni discende la regolarità del poligono.
In modo del tutto analogo si dimostra un’altra proprietà:
se una circonferenza viene suddivisa in n parti uguali, il poligono formato dalle tangenti alla circonferenza condotte nei punti di divisione, è regolare.
Da queste considerazioni generali segue che un poligono regolare è inscrittibile e circoscrivibile ad una circonferenza.
Il punto O, centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al poligono regolare, si chiama centro del poligono; il raggio della circonferenza circoscritta si chiama raggio del poligono, mentre il raggio della circonferenza inscritta si definisce apotema del poligono stesso; l’apotema è anche la distanza del centro dai lati del poligono. In ogni poligono regolare il rapporto tra la misura dell’apotema e la misura del lato è costante e dipende dal numero dei lati.
L’area di un poligoni regolare si esprime tramite la seguente formula:

dove
p è il semiperimetro
a è l’apotema.
Si ricorda che i poligoni si dicono equivalenti se hanno la stessa area.

Poligoni simili

Due o più poligoni sono simili se hanno gli angoli uguali ed i lati in proporzione.
Due o più poligoni regolari che hanno lo stesso numero di lati sono simili.
Si considerino due poligoni simili e si considerino le diagonali condotte da due vertici omologhi, queste decompongono il poligono in triangoli simili ed ugualmente disposti: quindi le diagonali omologhe di due poligoni simili stanno fra loro come i lati omologhi.
Da queste considerazioni deriva che: i perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi.
Tale proprietà si estende ai poligoni regolari nel seguente modo: i perimetri di due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati stanno fra loro come i rispettivi raggi e come i rispettivi apotemi.
Tali proporzioni si possono estendere alle aree: due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati costruiti su due lati omologhi.

Il decagono: poligono stellato

Il decagono è un poligono avente dieci lati.
In base alle considerazioni precedentemente descritte si ha che la somma, S, degli angoli interni è data da:
S = n (180) – 360
S = 10 (180) – 360 = 1440.
Il decagono rientra in una particolare categoria di poligoni chiamata poligoni stellati. I poligoni stellati sono poligoni regolari che hanno lati uguali, ma angoli alternativamente concavi o convessi fra loro uguali.
Essi derivano dai poligoni regolari convessi mediante tracciatura di diagonali. Tra i poligoni stellati possiamo distinguere:

• poligoni stellati semplici, quando sono formati da una sola linea spezzata; in pratica si possono ottenere con un tratto continuo fino alla chiusura della spezzata;
• poligoni stellati composti , quando sono formati da più linee spezzate; essi in pratica sono formati dalla sovrapposizione di due o più poligoni regolari ruotati di un angolo costante.

All’interno del poligono stellato si forma un nucleo che ha la forma del poligono regolare da cui è derivato.
È da notare che un poligono regolare crea un poligono stellato composto quando il numero di vertici saltati (aumentato di 1) è un sottomultiplo intero del numero di lati del poligono stesso; in caso contrario si ottengono poligoni stellati semplice.
Se n è il numero dei vertici saltati e l il numero dei lati, si ha:

• l / (n + 1) = numero intero, quindi si ottiene un poligono stellato composto
• l / (n + 1) = numero frazionario, quindi si ottiene un poligono stellato semplice.

Il decagono regolare genera un poligono stellato composto perché il numero dei vertici saltati è 1; mentre genera un poligono stellato semplice quando i vertici saltati sono 2.

Il decagono e la sezione aurea

Il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è la parte aurea del raggio.
Sia AB il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio di centro O: si vuole dimostrare che AB è la parte aurea del raggio OA.
Unito O con A e con B, otteniamo l’angolo AOB che è la decima parte di un angolo giro, ossia pari a 36°.
Essendo il triangolo AOB isoscele ed essendo il suo angolo al vertice di 36°, gli angoli alla base OAB = OBA = 72°.
Tracciamo la bisettrice dell’angolo OBA e chiamiamo C la sua intersezione con il lato OA.
Adesso consideriamo il triangolo ABC, avente l’angolo ABC = 36° e l’angolo BAC = 72°, conseguentemente l’angolo ACB = 72° e quindi il triangolo ABC è isoscele, da cui segue AB = BC.
Allo stesso modo si vede che il triangolo OBC, avendo gli angoli OBC = COB =36° è isoscele e quindi BC = CO.
Possiamo concludere che
AB = BC = CO
ed essendo OAB e BAC triangoli isosceli simili poiché hanno tutti gli angoli uguali che vale
OA : AB = AB : AC
poichè
AB = OC
OA : OC = OC : AC
Da tale proporzione si può asserire che OC è la parte aurea di OA, ossia che il lato AB del decagono regolare inscritto nel cerchio è la parte aurea del raggio.
Si ricorda che chiamiamo parte aurea o sezione aurea di un segmento la parte di questo che è media proporzionale fra l’intero segmento e la parte restante.

Costruzione del decagono

Un primo metodo per disegnare un decagono regolare è conoscendo la circonferenza di centro O e raggio R, in cui lo vorremmo inscrivere, e suddividerla in dieci parti uguali.
A tal fine si può procedere come segue:

• si tracciano due diametri fra loro perpendicolari AA’ e CC’;
• si traccia la circonferenza di diametro OC e centro M;
• si unisce A con M e si indica con D il punto di intersezione di questa circonferenza col segmento AM;
• si ottiene AD come parte aurea di OA, quindi AD è i lato del decagono regolare

.
Un secondo metodo è quando sia noto il lato AB del decagono regolare.
In questo caso il metodo è costituito dai seguenti passaggi:

• si tracci l’asse del segmento AB;
• si tracciano due archi: il primo di centro in A e raggio AB, il secondo avente lo stesso raggio, ma con centro in A e si trova il punto O’;
• si unisce B con O’;
• si suddivide il segmento BO’ in sei parti uguali;
• si centra in O’ e con raggio pari ad AB, trovo sull’asse di AB il centro del decagono O;
• si centra in O con raggio OA e traccio la circonferenza circoscritta al decagono;
• si riporta (tramite compasso) la lunghezza di AB sulla circonferenza fino a trovare tutti e dieci i lati.

per ulteriori approfondimenti sul decagono vedi anche qua