Podaria di una curva rispetto a un punto

SULLA PODARIA DI UNA CURVA RISPETTO A UN PUNTO

di Francesco Camia

Si dice podaria di una curva C rispetto a un punto A (detto polo) il luogo dei piedi delle per-

pendicolari condotte da A alle tangenti alla curva stessa; la curva C è detta antipodaria della

podaria ottenuta.

Supponiamo che la curva C sia piana e sufficientemente regolare, in particolare che in ogni suo

punto essa possieda una sola retta tangente.

In un piano, riferito ad un sistema d’assi cartesiani ortogonali, consideriamo la curva (conica) C di

2 2 l’equazione della sua podaria rispetto al punto

equazione x + 4 y = 4 e ci proponiamo di trovare

A=(3; 0) . L’equazione di C può essere scritta, dividendone i due membri per 4, nella forma

, da cui si nota che C è un’ellisse riferita a centro e assi, con i fuochi sull’asse x

(reale),

di misura 2 sull’asse x); C è pertanto una curva algebrica del se-

e semiassi di misura 2 e 1 (quelli

condo ordine priva di punti multipli che quindi possiede un’unica tangente in ogni suo punto.

Indicando con P un generico punto dell’ellisse C, siano la tangente in P all’ellisse,

a b la perpen-

il punto d’intersezione delle rette

dicolare ad a condotta per A, B a e b. La podaria in questione è il

P sull’ellisse

luogo descritto dal punto B al variare del punto C.

Per determinare l’equazione di questo luogo, procederemo con il metodo di eliminazione dei

parametri.