Parallelismo e perpendicolarità tra rette, nel piano cartesiano

Parallelismo e perpendicolarità tra rette nel piano cartesiano

In questo appunto di geometria analitica risolviamo un problema classico. Data l'equazione di una retta, si chiede di scrivere l'equazione delle rette passanti per un punto P del piano, e che siano rispettivamente parallela e perpendicolare alla retta data. Nel piano cartesiano l'inclinazione di una retta è data dalla sua pendenza. La misura di questa pendenza è la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse. Se l'equazione della retta è in forma esplicita:

Il coefficiente angolare è la lettera m, ovvero il numero che si trova vicino alla x.

Se l'equazione è in forma implicita:

Il coefficiente angolare è il rapporto

Una volta identificato questo numero, se una retta è parallela ad un'altra significa che ha la stessa pendenza, ovvero le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare. Due rette perpendicolari nel piano cartesiano formano tra loro quattro angoli retti; in questo caso, tra i due coefficienti angolari esiste un'altra relazione: essi sono uno antireciproco dell'altro. Ad esempio, se una retta ha coefficiente angolare m=2, la sua perpendicolare avrà m=-1/2.

Per risolvere il problema assegnato, come prima cosa scriviamo il fascio proprio di rette. Questo fascio è una famiglia di infinite rette tutte passanti per lo stesso punto P e tra queste noi dobbiamo individuare quella parallela e quella perpendicolare alla retta data. Come facciamo?

Ricaviamo il coefficiente angolare della retta r.

Lo inseriamo nell'equazione del fascio e in questo modo otteniamo l'equazione della retta parallela.

Facciamo poi l'antireciproco del coefficiente di r, e nuovamente inseriamo questo valore nell'equazione del fascio.

Risolvendo otteniamo l'equazione della retta perpendicolare.