Esplorando le Funzioni: Collegamenti Matematici tra Variabili

Funzioni

E loro rappresentazione grafica

1

di Carmine De Fusco

Anche con il programma per PC "Derive"

Indice

Funzioni ...............................................................................................pag. 2

Funzioni del tipo y = Kx ........................................................................... 4

Funzioni crescenti e decrescenti ..............................................................10

Rette che non passano per l'origine degli assi .................................... 11

Rette parallele ............................................................................................12

Punto in cui la retta incontra le ascisse ................................................13

Conversione di temperature centigrade in temperature

fahrenheit e viceversa ...............................................................................15

Rette perpendicolari ...................................................................................16

Funzioni del tipo y = K/x ...........................................................................18

Funzione quadratica .................................................................................. 20

Diagramma del moto accelerato (caduta di un corpo) ......................... 24

Cenni su altre funzioni .............................................................................. 25

Equazione della retta passante per due punti noti ................................26

Equazione del fascio di rette passante per un punto ...........................28

Esercizi di riepilogo ....................................................................................29

1 Carmine De Fusco -Venaria Reale- cadefu@libero.it 1

Funzioni

Le funzioni sono delle relazioni matematiche che esprimono un legame tra variabili.

Queste relazioni particolari associano ad ogni elemento di un certo insieme uno ed un solo elemento di un altro insieme.

Una generica funzione viene indicata con la scritta y = f(x), dove la x è considerata variabile indipendente mentre la y è la variabile dipendente.

L'insieme di tutti i valori della variabile indipendente che definiscono la funzione, si chiama dominio mentre l'insieme di tutti i corrispondenti valori della variabile dipendente si chiama codominio della funzione.

Funzioni del tipo y = f(x) le ritroviamo in molte situazioni:

• Lunghezza del lato di un quadrato e suo perimetro 2p = f(l);
• Costo di una certa merce acquistata ad un tanto al Kg e suo peso C = f(P);
• .....................................................................................................................................
• .....................................................................................................................................
• .....................................................................................................................................

In generale quindi una funzione tra due insiemi è una relazione che associa ad ogni elemento del 1° insieme uno ed un solo elemento del 2° insieme.

Esempi di funzioni:

I) A B

a

1 c

2 b d

3

II) A B

1 a

3

2 b

III) A B

1 a

3 b

2 c

In questi tre esempi abbiamo due casi particolari.

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Nell'esempio II) siamo in presenza di una funzione costante, infatti i tre elementi (1, 2, 3) dell'insieme A hanno come corrispondente un valore fisso (a) nell'insieme B.

Nell'esempio III) il dominio A e il codominio B sono caratterizzati dallo stesso numero di elementi ed ogni elemento di A ha una ed una sola immagine (corrispondente) in B e viceversa. In questo caso abbiamo una relazione molto particolare: una corrispondenza biunivoca. Le corrispondenze biunivoche vengono anche chiamate biezioni e corrispondono al predicato a due posti "....... tanti quanti .......".

Però non è detto che una relazione tra due insiemi contenenti lo stesso numero di elementi sia sempre una funzione o una biezione.

Esempi:

IV) A B

1 a

c

2 b

3 d

4

1 a

V) A B

2 b c

3

La IV) non è una funzione né una biezione, mentre la V) è una funzione ma non una biezione.

In conclusione, dati due insiemi, affinché si abbia una funzione occorre che tra i due insiemi ci sia una relazione ovunque definita e funzionale.

Infatti se la relazione è ovunque definita vuol dire che ogni elemento del dominio ha almeno un corrispondente nel codominio (da ogni elemento del dominio parte almeno una freccia); ma se è anche funzionale vuol dire che ogni elemento del dominio ha al più un corrispondente nel codominio (da ogni elemento del dominio parte al più una freccia).

Mettendo insieme i due tipi di relazioni (almeno una e al più una vuol dire una ed una sola) si hanno le funzioni, caratterizzate dalla partenza, da ciascun elemento del dominio, di una e una sola freccia verso un qualunque elemento del codominio.

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Funzioni del tipo y = Kx

Considereremo ora funzioni del tipo y = Kx dove K è un numero reale relativo, x e y sono le due variabili; la x è la grandezza che si fa variare mentre la y è quella che varia di conseguenza. La scrittura y = Kx significa che y è funzione di x secondo K.

Se si dispone del programma "Derive" è possibile ottenere facilmente i grafici corrispondenti alle funzioni.

In questo caso:

1. Accendere il computer
2. Selezionare DERIVE e dare invio
3. "AUTORE e dare invio
4. Digitare la funzione, poi dare invio e infine digitare PP per ottenere prima il piano cartesiano e poi il grafico corrispondente alla funzione.

Funzione y = x

Otteniamo la retta bisettrice del I e III quadrante. Infatti compilando una tabella dei valori di questa funzione otterremo gli stessi valori per le due variabili:

x y Punti

0 0 A

1 1 B

2 2 C

-1 -1 D

-3 -3 E

...... ...... ......

...... ...... ...... y +5

+4

y = x +3

+2 45°

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1 4

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Funzione y = - x

Otteniamo la retta bisettrice del II e del IV quadrante. Compilando una tabella anche per questa funzione, osserveremo che le due variabili (x e y) hanno valori opposti:

x y Punti

0 0 A

1 -1 B

-1 1 C

2 -2 D

-3 3 E

...... ...... ......

...... ...... ...... y +5

y = - x +4

+3

45° +2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

-2

Funzione y = 2x

x y Punti

0 0 A

1 2 B

-1 -2 C

2 4 D

...... ...... ......

...... ...... ......

...... ...... ...... 5

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y +5 y = 2x

+4

+3

+2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2

-3

Funzione y = 5x

x y Punti

0 0 A

1 5 B

-1 -5 C

...... ...... ......

...... ...... ......

...... ...... ......

...... ...... ...... y +5 y = 5x

+4

+3

+2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2 6

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Osservazioni

Nella funzione y = x, relativa alla retta bisettrice del I e del III quadrante il coefficiente della variabile x (coefficiente angolare) è 1.

Anche nella funzione y = - x il coefficiente angolare è 1 ma è preceduto dal segno meno.

Nelle ultime due funzioni, invece, il coefficiente della x è rispettivamente 2 e 5. Si può notare che quando questo coefficiente è > 1 la retta è più vicina all'asse delle ordinate che non a quello delle ascisse. Inoltre quanto maggiore è il coefficiente angolare, tanto più la retta si avvicina all'asse delle y. Per valori infinitamente grandi di tale coefficiente la retta tende a coincidere con l'asse delle ordinate. (Verificalo (al computer o sul quaderno) anche con funzioni del tipo y = 20x e y = 50x, verifica poi che l'asse delle ordinate corrisponde alla funzione x = 0).

Per determinare una retta sul piano bastano solo due punti quindi per determinare una retta sul piano cartesiano bastano le coordinate di due suoi punti (per due punti di un piano passa una ed una sola retta), perciò le tabelle potranno anche essere ridotte.

Quando il coefficiente angolare è compreso fra 0 e 1

Funzione y = 1/2x

x y Punti

0 0 A

1 1/2 B

2 1 C

4 2 D

-2 -1 E

...... ...... ......

...... ...... ...... y +5

+4

+3

+2 y = 1/2 x

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2 7

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Funzione y = 1/4x

x y Punti

0 0 A

1 1/4 B

5 5/4 C

-10 -10/4 D

8 2 E

...... ...... ......

...... ...... ...... y +5

+4

+3

+2 y = 1/4 x

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2

Osservazioni

Quando il coefficiente è < 1 la retta è più vicina all'asse delle ascisse che non a quello delle ordinate. Quanto minore è il coefficiente angolare tanto più la retta si avvicina all'asse delle x.

Per valori infinitamente piccoli, la retta tende a coincidere con l'asse delle ascisse (verificarlo al computer con le funzioni y = 1/20x e y = 1/50x; ricordiamo che il valore di una frazione, con numeratore costante uguale a 1, diventa sempre più piccolo a mano a mano che aumenta il denominatore: 1/20 > 1/50 > 1/500 > 1/2000 ecc.)

Verifica che l'asse delle ascisse corrisponde alla funzione y = 0x cioè y = 0.

Poiché l'asse delle x è dato dalla funzione y = 0, considerando funzioni del tipo y = b (con b = 0) avremo un insieme di rette parallele a quest'asse (e ovviamente perpendicolari all'asse delle ordinate).

Disegna, dopo aver costruito le relative tabelle, le funzioni:

• y = 1
• y = 2
• y = - 1
• y = - 2
• y = 3/2 8

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Allo stesso modo, sapendo che l'asse delle ordinate corrisponde alla funzione x = 0, considerando equazioni del tipo x = a (con a = 0) avremo un insieme di rette parallele all'asse delle y.

Funzioni del tipo y = Kx, quelle esaminate fino adesso, vengono dette della proporzionalità diretta in quanto tra le due variabili (o grandezze) x e y esiste una