Isometrie, similitudini e numeri complessi: collegamenti tra algebra e geometria per la classe quinta di liceo scientifico PNI

O

tutto ciò corrisponde proprio alla rotazione attorno ad di 90 in senso antiorario.

i,

A questo punto, anziché moltiplicare per il numero moltiplichiamo un generico

iθ

e

z z 0

avente norma uguale a 1 (z = ):

numero complesso per un numero complesso 0 0

iθ iθ iθ +iθ i(θ +θ)

z · z e · ρ e ρ e ρ e .

0 0 0

= = = (6)

0 z z

Si nota che l’immagine di è il numero complesso avente lo stesso modulo di ma

θ z;

con fase ottenuta aumentando di rad la fase di non è difficile capire che si tratta di

0 O

una rotazione in senso antiorario (sempre attorno all’origine come nel caso precedente)

θ

di angolo .

0

Lo stesso risultato può essere raggiunto considerando la moltiplicazione con le coordi-

nate cartesiane:

z · z iy)(cos θ i θ θ x − θ y) i(cos θ y θ x)

= (x + + sin ) = (cos sin + + sin (7)

0 0 0 0 0 0 0

O

infatti, se confrontiamo la (7) con l’equazione della rotazione avente centro in ed angolo

θ

pari a , si trova che rappresentano la stessa trasformazione:

0

θ

θ x

− θ x − θ y

x cos

cos sin sin

0 0 0 0 .

= (8)

=

y

y θ θ y θ x

θ

sin cos + sin

cos

0 0 0 0 iθ

e 0

Osservazione 2. Esiste dunque un’equivalenza tra il moltiplicare per un numero

z x iy y]

complesso = + ed il moltiplicare un vettore [x; per la matrice di rotazione con

θ

angolo :

0 θ − θ x

cos sin

0 0

iθ z ∼

e .

0 θ θ y

sin cos

0 0

θ in senso orario è sufficiente considera-

Osservazione 3. Se vogliamo una rotazione di 0

−iθ

e 0

re la moltiplicazione per (perché la matrice da considerare deve avere proprio quel-

l’angolo): −iθ −iθ iθ i(θ−θ )

e · z e · ρe ρe

0 0 0

= = ; (9)

θ π

se = si ottiene la rotazione

0 iθ iπ

z −→ e z e z −z

0 = = (−1)z = ; (10)

7 O

la trasformazione (10) ci ribadisce che la simmetria centrale rispetto ad coincide

O.

con la rotazione di un angolo piatto attorno ad Può essere opportuno rivedere

questo risultato, pur essendo già noto agli allievi, in quanto molto spesso capita di sentire

affermazioni del tipo ”la simmetria centrale è una simmetria”: la terminologia in uso non

aiuta di certo a capire come stanno davvero le cose.

Rotazioni con centro diverso dall’origine

θ C y

Una rotazione di angolo e di centro = (x ; ) si rappresenta cosı̀:

0 0 0

x θ x − x x

− θ

cos sin

0 0 0 0 .

= + (11)

y θ θ y − y y

sin cos

0 0 0 0

Dalla (11) si osserva che vengono compiute nell’ordine indicato queste tre trasfor-

1 (si veda la figura 3):

mazioni −

→ −(x y

• τ

→

− di vettore w = ; ) ;

Traslazione 0 0

w O ϕ;

• R di centro e angolo

Rotazione ϕ →

−

− y

• τ

−−

→ di vettore w = (x ; ) .

Traslazione 0 0

w z

Figura 3: Rotazione con centro diverso dall’origine

0

1 gli studenti devono sapere che l’ordine di composizione è importantissimo perché, in generale, due

trasformazioni qualsiasi non commutano 8

La rotazione risulta quindi essere data dalla composizione

◦ R ◦ τ

R τ

−−

→ →

− ; (12)

= ϕ w

w

vediamo ora di ”interpretare” la (12) nel piano complesso: la prima trasformazione assume

la forma z − z

z = ; (13)

0

la seconda trasformazione, come visto dalla (6), risulta essere:

iθ

e z

z 0

= ; (14)

è importante far notare alla classe che bisogna operare sul risultato della prima trasfor-

z;

z , e non su infine per la terza trasformazione si ha:

mazione, ovvero su

z z z .

= + (15)

0

Mettendo assieme le (13), (14) e (15) si ottiene la formula seguente:

iθ − z z .

z −→ e 0 (z ) + (16)

0 0 z z

Osservazione 4. Non è superfluo far notare che, sostituendo al posto di il numero 0

si ottiene: iθ iθ

−→ e − z z e · z z

z 0 0

(z ) + = 0 + = (17)

0 0 0 0 0 0

z

cioè è un punto fisso per la trasformazione (16); ma non poteva che essere cosı̀, visto

0

che si tratta del centro della rotazione. Quindi la (17) non ne rappresenta altro che la

verifica algebrica.

Assegnata l’equazione della trasformazione

iϕ z b ϕ

z −→ e + (con = 2kπ) (18)

ϕ

si vuol dimostrare che si tratta di una rotazione di angolo attorno ad un opportuno

centro.

Per far ciò possiamo confrontare le equazioni (18) e (16); si osserva che, per poter

operare il confronto, è conveniente scrivere la rotazione (16) nella forma seguente:

iϕ iϕ iϕ

− z z e z z − e z

z −→ e (z ) + = + ; (19)

0 0 0 0

iϕ z;

e uguagliando i termini noti

le equazioni (18) e (19) hanno in comune il termine

iϕ

− e z b

) e si ottiene:

(z

0 0 b

iϕ iϕ

− e z b ⇒ z − e b ⇒ z

z = (1 ) = = ; (20)

0 0 0 0 − e

iϕ

1 b

ϕ z = .

la (18) rappresenta dunque una rotazione di angolo avente centro 0 − e

iϕ

1

9

Esempio 5. Come applicazione di quanto esposto, proporrei ai ragazzi di trovare il centro

della seguente rotazione:

3 4

z −→ − i z − .

+ 2i 3

5 5 iϕ

e e dall’altra

Gli allievi possono essere un po’ disorientati perché da una parte vedono

3 4

− i : sarà allora necessario verificare che si tratta di un numero complesso avente

5 5 iϕ ϕ

e (cioè esiste un numero reale

norma unitaria e che quindi può essere espresso come

3 4 43

iϕ

− i e ϕ −

tale che = ; basta considerare = arctan( )). Ma tale rappresentazione

5 5 z di questa rotazione, che può essere

non ci interessa se vogliamo calcolare il centro 0

ricavato risolvendo la seguente equazione:

3 4

− i z − z

+ 2i 3 =

0 0

5 5

oppure riprendendo direttamente la (20):

−

2i 3 1

z i.

+ 4

= =

0 3 4 2

− − i

1 5 5

E’ interessante verificare tutto ciò dal punto di vista geometrico, considerando l’im-

magine di qualche punto, scelto opportunamente: tutti i punti ruotano attorno al centro

12

z i.

= + 4

0 Composizione di rotazioni

O

Se componiamo due rotazioni aventi centro in

iϕ

z e z

1

=

iϕ

e z

z 2

=

si trova che iϕ iϕ i(ϕ +ϕ )

z e e z e z

2 1 2 1

= = (21)

cioè si trova che la composizione è uguale alla rotazione avente lo stesso centro e angolo

pari alla somma dei due angoli (si veda la figura 4).

Osservazione 6. E’ interessante ritrovare le formule di addizione del seno e del coseno;

riscriviamo la (21):

iϕ iϕ

e e z ϕ i ϕ ϕ i ϕ

z 2 1

= = (cos + sin )(cos + sin )z =

2 2 1 1

ϕ − ϕ ϕ i(cos ϕ ϕ ϕ ϕ z

ϕ cos sin sin ) + sin + cos sin )] =

= [(cos 1 2 1 2 2 1 1 2

ϕ i ϕ z.

= [cos(ϕ + ) + sin(ϕ + )] (22)

1 2 1 2

10 O

Figura 4: Composizione di due rotazioni aventi centro in

Osservazione 7. L’ordine in questo caso non muta il risultato finale, in quanto la molti-

plicazione tra numeri complessi è un’operazione commutativa. Da una proprietà algebri-

ca discende una proprietà geometrica e viceversa: è molto importante far leva su questi

aspetti. θ θ

Se componiamo una rotazione di rad in senso antiorario con una di rad in senso

0 0

orario, siamo di fronte alla trasformazione identica, in quanto

iθ

e z

z 0

= −iθ iθ i·0

⇒ z e · e z e z z .

0 0

= = = (23)

−iθ

e z

z 0

= z

Se componiamo due rotazioni aventi lo stesso centro si trova:

0

iϕ

e − z z

z 1

= (z ) +

0 0 iϕ iϕ

⇒ z e − z z − z z ⇒

2 1

= (e (z ) + ) +

0 0 0 0

iϕ

z e − z z

2

= (z ) +

0 0

iϕ iϕ i(ϕ +ϕ )

e − z z e − z z

⇒ z 2 1 2 1

= (e (z )) + = (z ) + ; (24)

0 0 0 0

z e angolo pari alla somma

la trasformazione risultante è la rotazione avente centro in 0

dei due angoli. La (24) è in sostanza una generalizzazione della (21). Anche in questo

caso le due trasformazioni commutano. z z

Considerando invece due rotazioni aventi centri diversi = ,

1 2

iϕ

z e − z z

1

= (z ) +

1 1 (25)

iϕ

z e − z z

2

= (z ) +

2 2

la situazione cambia:

iϕ iϕ

z e − z z − z z

2 1

= (e (z ) + ) + =

1 1 2 2

i(ϕ +ϕ ) iϕ i(ϕ +ϕ )

z z e − z − e z

e 2 1 2 2 1 ; (26)

+ + (z )

= 2 1 2 1

11

scambiando l’ordine di composizione nella (25) si arriva alla trasformazione

i(ϕ +ϕ ) iϕ i(ϕ +ϕ )

z e z z e − z − e z .

1 2 1 1 2

= + + (z ) (27)

1 2 1 2

ϕ ϕ ϕ

ϕ + = 2kπ) aventi lo stesso angolo + ma con

Si ottengono due rotazioni (se 1 2 1 2

centri in generale diversi: per verificarlo basta vedere quando i termini noti delle (26) e

(27) sono uguali:

iϕ i(ϕ +ϕ ) iϕ i(ϕ +ϕ )

e − z − e z z e − z − e z ⇒

z 2 2 1 1 1 2

+ (z ) = + (z )

2 1 2 1 1 2 1 2

iϕ iϕ i(ϕ +ϕ )

− z − e − e e

⇒ 1 2 1 2 = 0

) 1 +

(z

2 1

z z

poiché = (i due centri di rotazione sono distinti) deve risultare:

2 1

iϕ iϕ i(ϕ +ϕ ) iϕ iϕ iϕ

e

− e − e e ⇒ e − − e

1 2 1 2 1 2 2 = 0

1 + = 0 1 + 1

iϕ iϕ

⇒ − e − e

2 1

1 1 = 0 ; (28)

se entrambe le rotazioni sono diverse dall’identità (cioè se nella (28) le quantità tra

parentesi sono diverse da zero) non commutano.

Osservazione 8. Proporrei agli studenti di analizzare le due rotazioni:

z −→ iz − z −→ −iz −

2 e + 3 4i

e di verificare che le loro due composizioni sono sı̀ diverse (dalla (28)), ma sono in realtà

−

delle traslazioni (r