Insiemi - Definizioni

Insiemi

Un insieme può essere inteso come una collezione di oggetti (detti membri o elementi dell'insieme): il concetto di insieme e quello di elemento di un insieme sono concetti primitivi, ossia non definibili tramite concetti più semplici.
Un insieme A risulta definito quando esiste una "regola" specifica che permette di stabilire se un qualunque elemento x appartiene o meno all'insieme A.

Esempi di insiemi:
- insieme delle consonanti dell'alfabeto italiano
- insieme degli stati europei
- insieme dei numeri relativi
- insieme delle frazioni

Definizioni

Due insiemi A e B sono uguali quando contengono gli stessi elementi.

L'insieme vuoto è un insieme privo di elementi. Un esempio di insieme vuoto è l'insieme dei numeri naturali dispari divisibili per due: nessun numero naturale dispari può essere diviso per due.

L'insieme ambiente o universo (indicato con U) contiene la totalità dei possibili elementi. L'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano ha come universo U proprio l'alfabeto italiano.

Corrispondenze tra insiemi

Dati due insiemi A e B, se esiste un criterio che permette di associare elementi di A con elementi di B, si dice che i due insieme sono legati da una corrispondenza (o relazione).

Dati gli insieme A = (1,2,3,4,5...) e B = (0,1...) un esempio di corrispondenza è: associare a ogni numero dispari di A l'elemento "0" di B e a ogni numero pari di A l'elemento "1" di B.

Corrispondenza univoca -> Tra due insiemi A e B vi è corrispondenza univoca (da A a B) quando a ogni elemento a di A corrisponde uno e un solo elemento b di B.

Tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza univoca quando esiste una legge che permette di decidere, preso un qualunque elemento a ∈ A, qual è il corrispondente elemento b ∈ B. La corrispondenza univoca fra gli elementi di A e quelli di B viene anche detta funzione o applicazione.

Corrispondenza biunivoca -> Tra due insiemi vi è una corrispondenza biunivoca quando a ogni elementi di un insieme corrisponde uno e un solo elemento dell'altro insieme e viceversa.

Per affermare che tra due insieme A e B vi è una corrispondenza biunivoca, è necessario che sia definita una legge che associa a ogni elemento a ∈ A, uno e un solo elemento b ∈ B, e viceversa a ogni b ∈ B uno e un solo elemento a ∈ A.

La corrispondenza biunivoca fra gli elementi di A e quelli di B viene anche detta trasformazione tra A e B.

Operazioni con gli insiemi

Intersezione
L'insieme intersezione di A e B è l'insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente ad A e a B, ossia a entrambi gli insiemi.

Unione
L'insieme unione di A e B è l'insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B, ossia ad almeno uno dei due insiemi.

Uno dei primi obiettivi da perseguire è quello di essere in grado di classificare i numeri, ossia conoscere i differenti insiemi numerici (insieme dei naturali, insieme degli interi relativi, insieme dei razionali...). Partendo dai numeri naturali, con successivi ampliamenti delle classi numeriche, si arriva fino ai numeri reali.