Insiemi - Definizioni

Insiemi

Un insieme può essere inteso come una collezione di oggetti (detti membri o elementi dell'insieme): il concetto di insieme e quello di elemento di un insieme sono concetti primitivi, ossia non definibili tramite concetti più semplici.
Un insieme risulta definito quando esiste una "regola" specifica che permette di stabilire se un qualunque elemento x appartiene o meno all'insieme .

Esempi di insiemi:
- insieme delle consonanti dell'alfabeto italiano
- insieme degli stati europei
- insieme dei numeri relativi
- insieme delle frazioni

Definizioni

Due insiemi e sono uguali quando contengono gli stessi elementi.

L'insieme vuoto è un insieme privo di elementi. Un esempio di insieme vuoto è l'insieme dei numeri naturali dispari divisibili per due: nessun numero naturale dispari può essere diviso per due.

L'insieme ambiente o universo (indicato con

) contiene la totalità dei possibili elementi. L'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano ha come universo proprio l'alfabeto italiano.

Corrispondenze tra insiemi

Dati due insiemi e , se esiste un criterio che permette di associare elementi di con elementi di , si dice che i due insieme sono legati da una corrispondenza (o relazione).

Dati gli insiemi

e un esempio di corrispondenza è: associare a ogni numero dispari di l'elemento di e a ogni numero pari di l'elemento di .

Corrispondenza univoca Tra due insiemi

e vi è corrispondenza univoca (da a ) quando a ogni elemento di corrisponde uno e un solo elemento .

Tra due insiemi

e vi è una corrispondenza univoca quando esiste una legge che permette di decidere, preso un qualunque elemento , qual è il corrispondente elemento . La corrispondenza univoca fra gli elementi di A e quelli di B viene anche detta funzione o applicazione.

Corrispondenza biunivoca Tra due insiemi vi è una corrispondenza biunivoca quando a ogni elemento di un insieme corrisponde uno e un solo elemento dell'altro insieme e viceversa.

Per affermare che tra due insiemi

e vi è una corrispondenza biunivoca, è necessario che sia definita una legge che associa a ogni elemento , uno e un solo elemento , e viceversa a ogni uno e un solo elemento .

La corrispondenza biunivoca fra gli elementi di

e quelli di viene anche detta funzione invertibile da a .

Operazioni con gli insiemi

Intersezione
L'insieme intersezione di e è l'insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente ad e a , ossia a entrambi gli insiemi.

Unione
L'insieme unione di

e è l'insieme degli elementi appartenenti ad oppure a , ossia ad almeno uno dei due insiemi.

Uno dei primi obiettivi da perseguire è quello di essere in grado di classificare i numeri, ossia conoscere i differenti insiemi numerici (insieme dei naturali, insieme degli interi relativi, insieme dei razionali...). Partendo dai numeri naturali, con successivi ampliamenti delle classi numeriche, si arriva fino ai numeri reali.