Geometrie non Euclidee

Smentisce una fiducia che fino ad ora era assoluta, sull'assolutezza anche nel campo delle scienze matematiche e in particolare nella geometria.
1) termino definizioni: punto, retta, piano, angolo, parallele ecc.... (mattoni della geometria) sono le basi (un centinaio distribuiti nei vari libri).
2) azioni o nozioni comuni (dal valore generale) verità di carattere generale
A) cose uguale a una stessa cosa sono uguali fra loro
B) cose uguali addizionata cose uguali danno totale uguale
C) cose uguali sottratta cose uguali danno differenza uguali
D) la retta è la linea più breve che congiunge due punti.
E) l'intero è maggiore della parte.
Postulati dal valore particolare
1) Per due punti si può far passare una retta sola.
2) una retta finita si può prolungare all'infinito. Illimitato (non infinito) per i non euclidei.

3) si può tracciare un cerchio di centro e raggio qualsiasi.
4) tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5) due rette si incontrano se la somma degli angoli interni che essa forma con una retta trasversale è minore di un angolo piatto.
5) postulato (si distingue dal postulato delle rette parallele: teorema e poi c'è il postulato) teorema: cioè da che da un punto esterno dato passa solo una retta parallela ad una retta data. Il quinto postulato è profondamente diverso dagli altri a bisogno di essere dimostrato è meno evidente come il teorema di cui è la base
Quinto postulato: se la somma degli angoli interni formati da due rette e con la trasversale è un angolo piatto allora sono parallele se no non lo sono.
Saccheri (gesuita) Lambert ecc… vengono sviati da un presupposto che per loro è scontato quel teorema e questo li frega perciò sfiorano la soluzione ma non c'arrivano.
I primi a trovare una geometria non euclidea furono un polacco è un russo spogli di preconcetti.
Il Saccari cercò di dimostrare che questo teorema è giusto, per assurdo cioè negando la tesi, commettendo un errore nella sua dimostrazione crede di aver dimostrato il teorema, giungendo ad un assurdo che in realtà è solo banale.
Gauss era già giunto a queste conclusioni, ma rinuncia a parlarne, perché nessuno ci credeva. Geometria iperbolica ( prima geometria non euclidea scoperta) spazio curvilineo sia positivo che negativo negano l'infinitesimo (un altro dei principi della geometria euclidea).
Nuovo postulato teorema: cioè da un punto esterno ad una retta passano due e infinite rette parallele alla retta data.

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