Coniche non degeneri

Coniche non degeneri

Definizione
Una conica non degenere C di E^2 si dice:
(a) parabola se r∞ `e tangente a C (= il supporto improprio di C `e costituito da un solo punto improprio)
(b) iperbole se r∞ `e secante C (= il supporto improprio di C `e costituito da due punti impropri distinti)
(c) ellisse se r∞ `e esterna a C (= il supporto improprio di C `e vuoto)
Osservazione: Solo le ellissi possono essere immaginarie.
Classificazione coniche non degeneri
Sia C una conica non degenere di E^2 e A un suo discriminante. Allora:
(a) C `e una parabola se e soltanto se A00 = 0;
(b) C `e una iperbole se e soltanto se A00 (c) C `e una ellisse se e soltanto se A00 > 0.
Polarità
Definizione
Sia C una conica non degenere di E^2 , avente A come matrice associata rispetto al riferimento cartesiano R. Se P ≡R [y0, y1, y2] `e un punto (proprio o improprio) di E^ 2 , si dice retta polare πP di P rispetto alla conica la retta (propria o impropria) di equazione omogenea.
Proprietà
Sia C una conica non degenere del piano euclideo, e siano P, Q due punti di E^2.
Q ∈ πP se e solo se P ∈ πQ. (Legge di reciprocità)
Se P `e un punto del supporto I(C), allora la retta polare πP di P rispetto a C
`e l’unica retta tangente alla conica in P.