Estremo di un segmento noto il punto medio

In questo appunto di geometria analitica proponiamo un esercizio relativo ai punti medi. In particolare, anziché trovare il punto medio di un segmento di estremi dati, troveremo un estremo noto l'altro estremo e il punto medio del segmento di cui entrambi fanno parte.
Ricordiamo che dati due punti

aventi coordinate e vale che il punto medio ovvero il punto che divide il segmento in due segmenti congruenti si calcola come:
Da qui è immediato calcolare il punto medio di un segmento noti i suoi estremi, ma conoscendo un punto medio e un estremo è possibile usare un procedimento inverso per trovare l'altro estremo. Geometricamente, è come se stessimo ribaltando l'estremo noto rispetto al punto medio. Vediamo un esempio.

Testo dell'esercizio

Il punto medio di un segmento ha le coordinate e uno degli estremi è il punto ; trovare le coordinate dell'altro estremo.

Svolgimento dell'esercizio

Indichamo con il punto medio, quindi e con l'estremo di coordinate .

Dobbiamo ricavare il punto in modo tale che sia il punto medio del segmento .
Noi sappiamo che le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche) delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con il punto medio del segmento , le sue coordinate saranno , dove come detto prima si ha:
A questo punto bisogna imporre .
Si ha dunque:
ci sono quindi due equazioni da risolvere.
Risolvendo la prima si ottiene:
e risolvendo la seconda si ottiene:
Dunque il punto cercato è .