{etRating 3}
La parabola
[math]C_1[/math]
di equazione [math]y = 1/2x^2+bx+c[/math]
incontra la parabola [math]C_2[/math]
di equazione [math]y=x^2+2x[/math]
nel suo vertice [math]V_2[/math]
e in un ulteriore punto P; scrivere l'equazione del luogo descritto dal punto medio M del segmento [math]V_2P[/math]
e giustificare che il luogo ammette come asse di simmetria la retta [math]x= -1[/math]
Il vertice di
[math]C_2[/math]
è [math]V_2(-1,-1)[/math]
, il punto [math]P[/math]
, appartenendo a [math]C_2[/math]
, avrà coordinate [math](t,t^2+2t)[/math]
. Il punto medio del semgmento [math]V_2P[/math]
è [math]M((t-1)/2,(t^2+2t-1)/2)[/math]
. Da cui ci ricaviamo il luogo:
[math]\begin{cases} x=(t-1)/2 \\ y=(t^2+2t-1)/2 \ \end{cases}[/math]
Ora applichiamo il metodo di eliminazione del parametro ricavando [math]t[/math]
dalla prima equazione e sostituendola nella seconda:
[math]\begin{cases} t=2x+1 \\ y=2x^2+4x+1 \ \end{cases}[/math]
[math]y=2x^2+4x+1[/math]
è il luogo cercato. Essendo una parabola, ha asse di simmetria [math]y=-(b)/(2a)=-1[/math]
.
P.S. Dal momento che il luogo è descritto dal punto medio, la parabola C1 non è unica. Se cosi fosse il luogo si ridurrebbe al solo punto medio del segmento [math]V_2P[/math]
. Esistono invece infinite parabole C1 aventi intersezioni [math]V_2[/math]
e [math]P[/math]
con C2.
[math]V_2[/math]
resta ovviamente fisso, [math]P[/math]
varia e al variare di [math]P[/math]
il punto medio [math]M[/math]
si sposta, descrivendo il luogo voluto.
FINE
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