Percorso didattico sull'ellisse con Cabri e Derive: Studio analitico in 4 lezioni e test finale

OF.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 26

β è data dal rapporto fra i lati che lo formano, cioè dal

Una indicazione dell’ampiezza di

c

rapporto fra il cateto e l’ipotenusa (se lo studente ha già studiato un po’ di trigonometria sa

a

c c 5 c 21

β

= = ≅ = ≅

0

.

74 nel primo caso e 0

.

92 nel

cos ); nei due esempi visti

che a a 3 a 5

secondo. c β

diminuisce, l’ampiezza di aumenta e l’ellisse appare meno

In generale , quando a

schiacciata.

Il rapporto fra la semidistanza focale e l’asse maggiore di solito si indica con e prende il

e

nome di dell’ellisse.

eccentricità

Nel caso dell’ellisse riferita al centro e agli assi e con i fuochi sull’asse :

x

c

=

e . (3)

a

Poiché la semidistanza focale è sempre minore del semiasse maggiore, è evidente che è

sempre < < .

0 e 1

= =

Nel caso limite risulta, dalla (3), , la semidistanza tra i fuochi è nulla ed essi

e c

0 0 − = =

2 2 2

a c b si deduce (essendo )

coincidono con il centro. In tal caso dalla relazione c 0

=

2 2 e quindi l’equazione canonica di una tale ellisse diventa

che è a b 2

2 y

x + = 1

2 2

a a

ossia + =

2 2 2

x y a . .

Quest’ultima è l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio di misura a

La circonferenza può quindi essere pensata come una particolare ellisse con eccentricità

nulla,ossia con i fuochi coincidenti.

= =

Nel caso limite risulta, dalla (3), , la semidistanza focale è uguale al semiasse

e 1 c a

maggiore (cioè i fuochi coincidono con i due vertici) e quindi, risultando nullo l’asse minore,

l’ellisse si riduce all’asse maggiore (ellisse degenere).

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 27

In sostanza, l’eccentricità misura lo “schiacciamento” dell’ellisse sull’asse maggiore rispetto

alla circonferenza che ha per diametro lo stesso asse maggiore: tanto più l’ellisse è eccentrica

(“schiacciata”) e tanto più l’eccentricità è vicina al valore 1; tanto meno l’ellisse è eccentrica e

tanto più l’eccentricità è vicina al valore 0.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 28

Le stesse considerazioni possono essere ripetute nel caso in cui l’ellisse ha i fuochi sull’asse

delle ordinate.

In tal caso l’eccentricità sarà c

=

e .

b

Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse

Quante informazioni indipendenti occorrono per poter scrivere l’equazione di un’ellisse?

Poiché nell’equazione 2 2

x y

+ = 1

2 2

a b

compaiono due coefficienti a e b, sono necessarie per

due condizioni indipendenti

determinare l’equazione di un’ellisse riferita ai suoi assi di simmetria.

Alcuni dei casi che possono presentarsi sono:

passaggio per l’ellisse per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto

1. all’origine);

conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice;

2. conoscenza dell’eccentricità e passaggio per un punto;

3. conoscenza della misura di un semiasse e dell’eccentricità.

4.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 29

Osservazioni

ƒ 2

L’equazione canonica di un’ellisse dipende dalla determinazione di a e di

2

b ; sarà dunque sufficiente risolvere equazioni o sistemi fino ad arrivare a

trovare tali valori;

ƒ Quando si deve determinare l’equazione di un’ellisse e non è nota a priori la

posizione dei due fuochi (se appartengono all’asse x o all’asse y), si considera

l’equazione nella forma generale

2 2

x y

+ = 1

2 2

p q

2 2 2 2

in cui i valori dei parametri a e b sono stati sostituiti da p e q . Se, a

>

2 2

p q , allora l’ellisse avrà i fuochi

calcoli svolti, si verificherà che è

sull’asse delle ascisse, altrimenti li avrà sull’asse delle ordinate.

ƒ Se le informazioni riguardano il passaggio per due punti simmetrici, in realtà si

ha una sola informazione valida che consente di determinare il valore di un

solo parametro. L’equazione dell’ellisse dipenderà, pertanto, da un parametro.

Area della regione delimitata dall’ellisse

L’ellisse: 2 2

x y

+ = 1

2 2

a b

delimita una regione finita D di piano rappresentata analiticamente dalla disequazione:

2 2

x y

+ ≤ 1

2 2

a b

la cui area è data da: π

=

Area D ab

essendo a e b i semiassi dell’ellisse. π 2

Si osservi che tale formula contiene come caso particolare, se a=b, l’area a del cerchio di

raggio a. ( )

P x ; y e di un’ellisse di equazione

Ne segue che la posizione reciproca di un punto 0 0 0

2 2

x y

+ = è determinata dalle seguenti condizioni:

1

2 2

a b 2 2

x y

+ =

0 0 il punto sta sull’ellisse;

1) Se 1

2 2

a b

2 2

x y

+ >

0 0 il punto sta all’esterno dell’ellisse;

2) Se 1

2 2

a b 2

2

x y

+ <

0

0 il punto sta all’interno dell’ellisse.

3) Se 1

2

2

a b

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 30

Retta - ellisse

Per studiare le varie posizioni che può assumere una retta r, rispetto ad un’ellisse, basta

risolvere il sistema di 2° grado formato dalle equazioni dell’ellisse e della retta:

⎧ 2 2

x y

+ =

⎪ 1

⎨ 2 2

a b

⎪ = +

⎩ y mx q

Le sue eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti d’intersezione tra l’ellisse e la retta.

Applicando il metodo di sostituzione, si ottiene l’equazione risolvente:

( ) ( )

+ + + − =

2 2 2 2 2 2 2 2

b a m x 2 a mqx a q b 0

+ ≠

2 2 2

sempre di 2° grado, poiché 0

b a m .

Calcolato il discriminante di tale equazione:

∆ ( )( )

= − − +

4 2 2 2 2 2 2 2 2

a m q a q b b a m

4

a seconda che risulti: ∆ > ∆ = ∆ <

0 0 0

la retta r è rispettivamente: secante tangente esterna

all’ellisse.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 31

LEZIONE 4

APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

La conoscenza dell’ellisse, in alcune situazioni, può facilitare lo svolgimento di un esercizio

matematico. In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni

e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si

presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.

Esercizio 1 = − 2

Tracciare il grafico della funzione di equazione y 4 9 x , determinandone dominio e

condominio. ⎡ ⎤

2 2 2 2

− ≥ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ = −

2

4 9 0 ;

x x D .

La funzione esiste se ⎢ ⎥

⎣ ⎦

3 3 3 3

≥

∀ ∈ , è y 0 .

Si osservi che, x D

Elevando al quadrato, avremo che l’equazione data è equivalente a

⎧ 2 2

x y

+ =

⎪ 1

⎧ = − ⎪

2 2

4 9

y x 4 4

⇒

⎨ ⎨

≥

⎩ 9

⎪

0

y ⎪ ≥

⎩ y 0

2 2 2

x y

+ = =

=

Poiché e

1 è l’equazione di un’ellisse riferita al centro e agli assi con ,

b 2

a

4 4 3

9 ≥

tenendo conto della condizione y 0 , si può concludere che il grafico richiesto è quello

illustrato nella figura seguente e rappresenta una semiellisse. Il condominio della funzione è

[ ]

= .

C 0

; 2

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 32

Esercizio 2 + + − =

2

Risolvere la seguente equazione .

x x

3 3 3 0

Si scriva l’equazione data nel seguente modo

+ = − − 2

3 x 3 3 x

cioè ⎧ ⎧

= + = +

⎪ ⎪

3

y x 3

y x

⇒

⎨ ⎨

⎪⎩ + = ∧ ≤

⎪⎩ = − − 2 2

2 3 3 0

x y y

3 3

y x 2

y

+ =

2

Si tratta di intersecare l’arco dell’ellisse di equazione x 1 , situato nel semipiano delle

3

= +

y x 3 . Dall’esame della figura seguente si

y negative o nulle, con la retta di equazione

vede che l’equazione data non ha soluzioni.

Esercizio 3 − ≥

2

Risolvere graficamente la disequazione .

2 x 3 x x =

= − 2

y 2 x 3 x e y x .

Si consideri la curva e la retta di equazioni rispettivamente

Si osservi che ⎧ ⎧

= − + − =

2 2 2 2

2 3 3 2 0

y x x x y x

= − ⇒ ⇒

2 ⎨ ⎨

2 3

y x x ≥ ≥

⎩ ⎩

0 0

y y

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 33

+ − =

2 2

x y x si può scrivere

L’equazione 3 2 0

2

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟

x

⎝ ⎠ 2

y

3 + = 1

1 1

9 3 ⎛ ⎞

1 1

1 =

=

⎜ ⎟

;

0 e di semiassi

e pertanto rappresenta un’ellisse di centro b , con l’asse

a e

⎝ ⎠

3 3 3

<

minore disposto sull’asse x, essendo .

a b

≥ = − 2

A causa della condizione y 0 , l’equazione y 2 x 3 x rappresenta quindi la semiellisse

appartenente al semipiano delle ordinate positive o nulle.

Risolvere la disequazione data significa determinare le ascisse dei punti della semiellisse che

=

y x

hanno ordinata maggiore o uguale di quella dei corrispondenti punti della retta .

≤ ≤

Dall’esame della figura si può vedere che la disequazione è verificata per essendo

0 x x A

A il punto d’intersezione, distinto dall’origine, tra l’ellisse e la retta. Ponendo a sistema

1

=

l’equazione dell’ellisse con quella della retta, si trova .

x A 2

1

≤ ≤

0 x .

Si conclude che la disequazione è soddisfatta per 2

ESERCITAZIONE CON DERIVE

Determinare le eventuali intersezioni delle seguenti rette di equazione:

1. = +

a) y x 2

= +

b) y x 5

x

= +

c) y 2

2 2

x + =

2

con l’ellisse di equazione: y 1 .

4

a)

1.

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b)

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 35

c) Risolvere graficamente le seguenti equazioni e disequazioni: