Determinare l'equazione dell'iperbole passante per A(3,2) e avente asintoti le rette (y = pm 2x)

L'equazione generica dell'iperbole

[ egin{equation} frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1 label{eq1} end{equation} ]

mentre le equazioni degli asintoti sono

[ y = pm frac{b}{a} x]

da cui si ricava

[ egin{equation} frac{b}{a} = 2
ightarrow b = 2a label{eq2} end{equation} ]

L'equazione )(
ef{eq1})) diventa allora

[ frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{4a^2} = 1 ]

Imponiamo quindi il passaggio della retta per il punto A(3,2)

( frac{9}{a^2} - frac{4}{4a^2} = 1
ightarrow frac{9}{a^2}- frac{1}{a^2} = 1
ightarrow frac{8}{a^2} = 1
ightarrow 8=a^2 )

Per la ((
ef{eq2})) risulta (b^2 = 4a^2 = 4 cdot 8 ) e quindi, sostituendo nella ((
ef{eq1})) i valori di

( frac{x^2}{8} - frac{y^2}{32} = 1 ), cio, essendo 32 il m.cm., (4x^2 - y^2 = 32 ).