Geometria analitica: Scritta l'equazione della circonferenza tangente in O alla retta t: 2x - y = 0 e passante per A ( 2 ; 0 ) , determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y , con vertice nel centro C della c

di _francesca.ricci

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Scritta l'equazione della circonferenza tangente in

[math]O[/math]

alla retta

[math]t: 2x - y = 0[/math]

e passante per

[math] A ( 2 ; 0 ) [/math]

, determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]

, con vertice nel centro

[math]C[/math]

della circonferenza e passante per l'origine degli assi

[math]O[/math]

Svolgimento

Determiniamo le coordinate del centro della circonferenza, considerando la rette passante per lo stesso e perpendicolare alla tangente

[math]t[/math]

; chiamiamo questa retta con

[math]s[/math]

[math]s : ax + by + c = 0 [/math]

Sapendo che la retta

[math]t[/math]

è tangente in

[math]O[/math]

alla circonferenza, anche la retta s passerà per

[math]O[/math]

, quindi la sua equazione diventa:

[math]s : ax + by = 0 [/math]

Sappiamo che il coefficiente angolare della retta

[math]t[/math]

è:

[math]m_t = - a/b = - 2/(-1) = 2 [/math]

Sapendo che la retta s è perpendicolare a

[math]t[/math]

, il suo coefficiente angolare sarà uguale e opposto:

[math] m_s = - 1/2 [/math]

In questo caso possiamo scrivere la sua equazione così:

[math]s : x + 2y = 0 [/math]

Consideriamo ora la retta formata dall'origine e dal punto

[math]A[/math]

; possiamo affermare che il centro della circonferenza passa per la retta perpendicolare ad

[math]OA[/math]

e passante per il suo punto medio.

Essendo

[math]A[/math]

di coordinate

[math](2;0)[/math]

il punto medio del segmento

[math]OA[/math]

[math]M(1;0)[/math]

; la retta che cerchiamo è quindi

[math]r : x = 1 [/math]

Impostando un sistema fra queste due rette, possiamo risalire alle coordinate del centro della circonferenza:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x + 2y = 0 &\
x = 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
y = - 1/2 &\
x = 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Otteniamo quindi il punto

[math] C (1 ; - 1/2)[/math]

Avendo il centro ed un punto appartenente alla circonferenza, possiamo determinare il suo raggio:

[math] R = CO = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \sqrt((1-0)^2 + (-1/2 - 0)^2) = [/math]

[math] \sqrt{ 1 + 1/4} = frac(\sqrt5)(2) [/math]

Ricaviamo l'equazione della circonferenza:

[math] C : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 [/math]

[math] C : (x - 1)^2 + (y - (-1/2))^2 = (frac(\sqrt5){2})^2 [/math]

[math] C : x^2 + 1 - 2x + y^2 + 1/4 + y - 5/4 = 0[/math]

[math] C : x^2 + y^2 - 2x + y = 0 [/math]

Rappresentiamo la circonferenza sul piano cartesiano:

Ora, determiniamo l'equazione della parabola; sappiamo che essa ha asse parallelo all'asse

[math]y[/math]

, quindi la sua equazione sarà del tipo

[math]y = ax^2 + bx + c[/math]

Le coordinate del suo vertice, coincidente con il centro della circonferenza, sono

[math](-b/(2a) ; - âˆ†/(4a))[/math]

Conoscendo le coordinate del centro della circonferenza, possiamo scrivere che:

[math] - frac(b)(2a) = 1 \to -b = 2a \to b = - 2a [/math]

Inoltre, poiché anche la parabola passa per l'origine degli assi abbiamo che:

[math] O âˆˆ P \to c = 0 [/math]

Possiamo poi imporre il passaggio della circonferenza per il suo vertice:

[math] V âˆˆ P \to C (1 ; - 1/2) âˆˆ P \to - 1/2 = a + b + c [/math]

mettiamo a sistema le tre scritture:

[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
b = - 2a&\
c = 0&\
a + b + c = - 1/2 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Risolvendo per sostituzione:

[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
b = - 1&\
c = 0&\
a = 1/2 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Abbiamo quindi l'equazione della parabola:

[math] y = 1/2 x^2 - x [/math]

Rappresentiamola sul piano cartesiano:

Geometria analitica: Scritta l'equazione della circonferenza tangente in O alla retta t: 2x - y = 0 e passante per A ( 2 ; 0 ) , determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y , con vertice nel centro C della c

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