Dati i punti
[math]A(-k;0); B(-2;0); C(2+k;2\sqrt3)[/math]
, determinare [math]k[/math]
in modo che sia [math]\bar{AC}sim=\bar{BC}[/math]
e verificare poi che il triangolo [math]hat{ABC}[/math]
cos ottenuto equilatero. Svolgimento
Calcoliamo le misure dei segmenti
[math]\bar{AC}[/math]
e [math]\bar{BC}[/math]
.
[math]\bar(BC)=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}=\sqrt((2+k-2)^2+(2\sqrt3-0)^2)=\sqrt(k^2+12)[/math]
[math]\bar(AC)=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}=\sqrt((2+k+k)^2+(2\sqrt3-0)^2)=\sqrt((2+2k)^2+(4 \cdot 3))=[/math]
[math]=\sqrt{4+4k^2+8k+12}=\sqrt(4k^2+8k+16)=\sqrt(4(k^2+2k+4))=2\sqrt(k^2+2k+4)[/math]
. Troviamo il valore di
[math]k[/math]
che soddisfi la seguente equazione:
[math]2\sqrt{k^2+2k+4}=\sqrt(k^2+12)[/math]
; Eleviamo ambo i membri al quadrato:
[math]4(k^2+2k+4)=k^2+12[/math]
;
[math]4k^2+8k+16=k^2+12[/math]
; Semplificando
[math]3k^2+8k+4=0[/math]
Risolviamo l'equazione di secondo grado:
[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(4)^2-(3 \cdot 4)=16-12=4[/math]
[math]k_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(\Delta)/4})/a=(-4+-\sqrt4)/3=(-4+-2)/3 => k_1=-2 ^^ k_2=-2/3[/math]
. Pertanto per
[math]k=-2 vv k=-2/3[/math]
, avremo [math]\bar{AC}sim=\bar{BC}[/math]
. Infatti Per k=-2, si ha:
[math]\bar(B'C')=\sqrt{k^2+12}=\sqrt((-2)^2+12)=\sqrt(4+12)\sqrt(16)=4[/math]
[math]\bar(A'C')=2\sqrt{k^2+2k+4}=2\sqrt((-2)^2+2(-2)+4)=2\sqrt(4-4+4)=2\sqrt(4)=2 \cdot 2=4[/math]
. Per k=-2/3, si ha:
[math]\bar(B''C'')=\sqrt{k^2+12}=\sqrt((-2/3)^2+12)=\sqrt(4/9+12)\sqrt((4+108)/9)=\sqrt((112)/9)=4/3\sqrt7[/math]
[math]\bar(A''C'')=2\sqrt{k^2+2k+4}=2\sqrt((-2/3)^2+2(-2/3)+4)=2\sqrt(4/9-4/3+4)=2\sqrt((4-12+36)/9)=\sqrt((28)/9)=4/3\sqrt7[/math]
. Ora calcoliamo il segmento
[math]\bar{AB}[/math]
e verifichiamo se per [math]k=-2 vv k=-2/3[/math]
, il triangolo [math]hat{ABC}[/math]
equilatero Possiamo notare che il segmento
[math]\bar(AB)[/math]
parallello all'asse delle ascisse, cio [math]y_1=y_2=1+\sqrt7[/math]
. Pertanto la loro distanza il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
[math]d=|x_2-x_1|=|-2+k|=|k-2|[/math]
. Per
[math]k=-2[/math]
[math]\bar(A'B')=|k-2|=|-2-2|=|-4|=4=\bar{A'C'}=\bar{B'C'}[/math]
. Per [math]k=-2/3[/math]
[math]\bar(A''B'')=|k-2|=|-2/3-2|=|(-2-6)/3|=|-8/3|=8/3!=4/3=\bar{A''C''}=\bar{B''C''}[/math]
. Pertanto per
[math]k=-2[/math]
si ha che [math]\bar{AC}sim=\bar{BC}[/math]
e il triangolo [math]hat{A'B'C'}[/math]
equivalente al triangolo [math]hat{ABC}[/math]
equilatero.
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