Dal punto
[math](-4;2)[/math]
condurre le tangenti all'ellisse [math](x^2)/9+y^2=1[/math]
. Svolgimento
Indichiamo con[math]P[/math]
il punto di coordinate [math](-4;2)[/math]
. L'equazione [math](x^2)/9+y^2=1[/math]
equivale a [math]x^2+9y^2=9[/math]
La generica retta per [math]P[/math]
ha equazione [math]y-2=m(x+4)[/math]
Poniamo a sistema l'equazione della retta con quella dell'ellisse; l'equazione risolvente il sistema dovr avere il discriminante nullo (condizione di tangenza) [math]\egin{cases} y-2=m(x+4) \\ x^2+9y^2=9 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(m(x+4)+2)^2=9 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(m^2(x+4)^2+4+4m(x+4))=9 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(m^2(x^2+16+8x)+4+4mx+16m)=9 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(x^2m^2+16m^2+8xm^2+4+4mx+16m)=9 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9x^2m^2+144m^2+72xm^2+36+36mx+144m=9 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ (1+9m^2)x^2+36mx(1+2m)+54m+27+144m^2=0 \ \end{cases}[/math]
; Studiamo l'equazione di secondo grado
[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0[/math]
(condizione di tangenza) Risolviamo l'equazione [math](18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0[/math]
; [math]324m^2(1+4m^2+4m)-144m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3-243m^2=0[/math]
; [math]324m^2+1296m^4+1296m^3-387m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3=0[/math]
; Raccogliamo i termini simili [math]-63m^2-144m-27=0[/math]
; Cambiando di segno e semplificando [math]7m^2+16m+3=0[/math]
Troviamo, ora, i valori di
[math]m[/math]
per cui vale l'equazione [math]7m^2+16m+3=0[/math]
[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(8)^2-(7 \cdot 3)=64-21=43[/math]
[math]m_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(\Delta)/4})/a=(-8+-\sqrt(43))/7 => m_1=(-8+\sqrt(43))/7 ^^ m_2=(-8-\sqrt(43))/7[/math]
.
Pertanto l'equazioni delle rette passanti per [math]P[/math]
e tangenti l'ellisse [math](x^2)/9+y^2=1[/math]
saranno: [math]y-2=(-8+-\sqrt{43})/7(x+4)[/math]
.
![Geometria analitica: Dal punto P(3/2,-2) condurre le tangenti alla parabola [math]{y}=\frac{1}{{4}}{x}^{2}-{1}[/math] e verificare che siano perpendicolari fra loro](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/09/geom_anal_e5.jpg)
![Geometria analitica: Determinare le equazioni delle rette tangenti all'ellisse [math]\frac{{x}^{2}}{{16}}+\frac{{y}^{2}}{{25}}={1}[/math] e parallele alla retta [math]{5}{x}+{4}{y}-{20}={0}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/09/geom_anal_e3-615x808.jpg)
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