Cubiche e affinità  nel piano

C

Determiniamo ora le equazioni dell’affinità f che trasforma la cubica : y = a x + b x + c x + d

1 1 1 1 1

3 2

C

nella cubica : y = a (x ) + b (x ) + c x + d . Sfruttiamo i risultati già ottenuti:

2 2 2 2 2

3 Affinità nel caso generale 4

• con l’affinità ϕ (le cui equazioni sono date dalla (5) con a ,b ,c ,d al posto di a, b, c, d) la curva

1 1 1 1

3

C viene trasformata nella cubica ϕ(C ) avente equazione y = (x ) ;

1 1

• applicando l’affinità ψ (le cui equazioni sono date dalla (7) con a ,b ,c ,d al posto di a, b, c, d)

2 2 2 2

C

alla cubica ϕ(C ) otteniamo la cubica .

1 2

In definitiva la trasformazione affine f che risolve il nostro problema si ottiene considerando la

composizione, nell’ordine, delle affinità ϕ e ψ: ◦

f = ψ ϕ. (8)

La figura 3 illustra il procedimento da seguire.

Figura 3: Trasformazioni affini di cubiche nel caso generale.

Mettendo assieme le trasformazioni (5) e (7) si ottiengono le equazioni dell’affinità nel caso

generale: ⎧

⎪ b b

⎪ 1 2

−

⎪ x = x +

⎨ 3 a 3 a

1 2 (9)

f : ⎪ 21 22 22 21 21 22

− −

⎪ a c a a c ) + a b a b

3 (a a

⎪ 2 2 1 1 2

⎩ y = x + y + τ

21

3 a a a

2 1

dove τ è la quantità 21 22 31 22 21 32 31 32 31 31 22 32 21

− − −

b a a 9 b c a a 3 b b a a + 2 b a + a b + 27 d a a 27 a d a

9 c 2 1 2 2 2 1 2 2 1 .

τ = 31 22

27 a a

4 Cambio di coordinate 5

3 2

Esempio 5. −

Cerchiamo l’affinità che trasforma la cubica y = x 9 x + 2 x + 4 nella cubica y =

3 2

−2 −

(x ) + 6 (x ) + 2 x 1. La prima affinità ϕ ha equazioni

−

x = x 3 (10)

ϕ : −

= 25 x + y 31

y

mentre per quanto riguarda la seconda trasformazione ψ abbiamo

x = x + 1 ; (11)

ψ :

−

= 8 x 2 y + 5

y ◦

mettendo assieme le trasformazioni (10) e (11), ovvero calcolando le equazioni dell’affinità f = ψ ϕ,

abbiamo: −

x = x 2 .

f : −42 −

= x 2 y + 43

y −44) C

= (3 , della cubica ha per immagine il punto di flesso

Osserviamo che il punto di flesso F

1 1

C

= (1 , 5) della cubica .

F

2 2

4 Cambio di coordinate

I coefficienti della trasformazione affine (7) possono essere ottenuti in altro modo; vediamo come.

3 2

Cerchiamo il sistema di coordinate X, Y in cui la cubica di equazione y = a x + b x + c x + d ha

3 . Le coordinate X, Y sono legate alle coordinate x, y dalle formule

equazione Y = X

1 0

x x

0 + Y (12)

+ X

= y w p

y 0

3 2

+ b x + c x + d abbiamo:

sostituendo nell’equazione y = a x 3 2

+ w X + p Y = a(X + x ) + b(X + x ) + c(X + x ) + d

y 0 0 0 0

risolvendo rispetto a Y troviamo 20 30 20

− −

a x

+ 2 bx + c w + bx + cx + d y

a b + 3 ax 3 ax

0 0 0 0

3 2

X X X +

Y = + +

p p p p

3

uguagliando all’equazione Y = X otteniamo il sistema seguente:

⎧ ⎧

a

⎪

⎪ ⎪ p = a

= 1

⎪ ⎪

⎪ ⎪

p

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪ b

b + 3 ax

⎪ ⎪

0

⎪ ⎪ −

x =

⎪ ⎪

= 0 0

⎨ ⎨ 3 a

p ⇒ . (13)

2

20 −

⎪ ⎪

− 3 ac b

3 ax + 2 bx + c w

⎪ ⎪

0

⎪ ⎪ w =

⎪ ⎪

= 0

⎪ ⎪

⎪ ⎪ 3 a

p

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪ 2 3

30 20 −

⎪ ⎪

− d 9 abc + 2 b

27 a

+ bx + cx + d y

a x

⎪ ⎩

0 0

⎩ =

y

=0 0 2

27 a

p

4 Cambio di coordinate 6

Si verifichi, come già detto, che i coefficienti sono uguali a quelli che compaiono nella (7). Cer-

chiamo di capire meglio la situazione geometrica: l’origine (x , y ) del sistema di coordinate X, Y

0 0

coincide con il punto di flesso (si veda infatti la formula (6)).

T

Osserviamo inoltre che il vettore (1 ; w) è tangente alla curva proprio nel punto di flesso F ; infatti,

la derivata della funzione cubica è dy 2

= 3 ax + 2 bx + c ;

dx b

−

e, se valutiamo la derivata nel punto di ascissa x = , otteniamo:

3 a

2 2

−

b b 3 ac b

dy − − = w.

= 3 a + 2b + c =

dx 3 a 3 a 3 a

b

x=− 3 a 3 2

Esempio 6. −18

Determinare il sistema di coordinate X, Y in cui la curva di equazione y = 2 x x +

3

−

51 x 41 ha equazione Y = X . Applicando le formule (13) otteniamo (si veda la figura 4):

x 3 1 0

= + X + Y .

−3

y 4 2

3 2 3

− −

Figura 4: Nel sistema di coordinate X, Y la cubica y = 2 x 18 x + 51 x 41 ha equazione Y = X .

T T

−3)

I vettori disegnati sono proprio (1 ; e (0 ; 2) .

Osservazione 7. , y , w, p possono essere ottenute, in modo del tutto equivalente alle

Le quantità x

0 0

formule (13), anche nel modo seguente: