Coniche - Algebra lineare

Coniche di E^2

Definizione
Una conica C del piano euclideo, rappresentata dalla forma quadratica q : R3 → R, `e l’insieme C = {λ · q | λ ∈ R − {0}}
Equazione cartesiana di C rispetto a R :
a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a01x + 2a02y + a00 = 0
Equazione omogenea della conica C rispetto a R :
a11x21 + a22x22 + 2a12x1x2 + 2a01x0x1 + 2a02x0x2 + a00x20 = 0
Proposizione
Due matrici A, A0 ∈ S3(R) sono discriminanti della stessa conica se e soltanto se esiste λ ∈ R − {0} tale che A `e congruente a λA0.
Proposizione
Di conseguenza tutti i discriminanti di una stessa conica hanno lo stesso rango.
Definizioni
Per rango ρ(C) di C si intende il rango di un suo qualsiasi discriminante.
Una conica che denomineremo con C si dice degenere o specializzata se ρ(C) Supporto di una conica
Definizioni
Supporto proprio di C :
IP(C) = {P ≡R (x, y) | a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a01x + 2a02y + a00 = 0}
supporto improprio di C :
I∞(C) = {P∞ ≡ [0, x1, x2] | a11x21 + a22x22 + 2a12x1x2 = 0}
supporto di C:I(C) = IP(C) ∪ I∞(C)
Supporto di C rappresentata dalla forma quadratica q :
I(C) = {P ≡ [x0, x1, x2] | q(x0, x1, x2) = 0}