Condizioni di parallelismo e Rappresentazioni di una retta

Condizioni di parallelismo

Proposizione
(1) Condizione necessaria e sufficiente affinch`e due rette r e r0 aventi rispettivamente coefficienti direttori (l1, . . . , ln) e (m1, . . . , mn) siano parallele `e che esista λ ∈ R − {0} tale che (l1, . . . , ln) = λ · (m1, . . . , mn).
(2) Condizione necessaria e sufficiente affinch`e due iperpiani π e π0
aventi rispettivamente equazioni cartesiane a1x1 + · · · + anxn + b = 0 e a01x1 +· · · + a0nxn + b0 = 0 siano paralleli `e che esista λ ∈ R − {0} tale che(a1, . . . , an) = λ · (a01, . . . , a0n).
(3) Condizione necessaria e sufficiente affinch`e una retta avente coefficienti direttori (l1, . . . , ln) ed un iperpiano avente equazione cartesiana a1x1 + · · · + anxn + b = 0 siano paralleli `e che si abbia a1l1 + · · · + anln = 0
Rappresentazioni di una retta r in E^2
cartesiana: ax + by + c = 0 (numeri direttori: (b, −a))
parametrica: (x = x0 + lt)y = y0 + mt (numeri direttori: (l, m))
frazionaria: x−x0 l =y−y0m(numeri direttori: (l, m))
esplicita: y = mx + q (numeri direttori: (1, m))
Rappresentazioni della retta parallela a r per il punto P ≡ (¯x, y¯)
cartesiana: a(x − x¯) + b(y − y¯) = 0
esplicita: y − y¯ = m(x − x¯)
frazionaria: x−x¯ l =(y−y)/m