Vertice della parabola: definizione e formule

Nel seguente appunto studieremo il vertice di una parabola. Il vertice è un punto di importanza estremamente rilevante perché è un punto di massimo (se la parabola ha la concavità rivolta verso il basso), viceversa è un punto di minimo (se la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto). Il vertice appartiene all'asse di simmetria della parabola ed è equidistante dalle eventuali intersezioni tra la parabola e l'asse

La parabola

La parabola è una curva piana aperta (di forma piuttosto allungata) i cui punti sono equidistanti da un punto fisso

La parabola fa parte delle cosiddette "sezioni coniche", cioè di quelle curve piane ottenute da sezioni di cono e non costituite da archi di circonferenza raccordati.

La parabola è rappresentabile attraverso un grafico nel piano cartesiano ortogonale. La relazione che lega tra loro le coordinate (x,y) dei punti del grafico è una funzione matematica, la cui equazione può assumere due forme differenti:

• [math] y = ax^2 + bx + c [/math]
  se la parabola ha l'asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate.
• [math] x = ay^2 + by + c [/math]
  se la parabola ha l'asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse.

Pertanto, nel primo caso la curva generata sarà simmetrica rispetto ad un asse verticale, mentre nel secondo caso rispetto ad un asse orizzontale. I due assi (verticale ed orizzontale) a volte coincidono proprio con gli assi

e

del piano cartesiano.
Indicheremo con la lettera

il coefficiente del termine di secondo grado, con la lettera

il coefficiente del termine di primo grado e con la lettera

il termine noto. Tutti e tre possono assumere sia valori positivi che negativi. In particolare, nell'equazione della parabola

e

possono anche essere nulli, ma

Se fosse nullo, avremmo una "parabola" del tipo

, che non è più quella di una parabola, ma si tratta invece dell'equazione di una retta.

Per ulteriori approfondimenti sulla parabola vedi anche qua

Il disegno della parabola

Per disegnare la parabola nel piano cartesiano in modo ottimale, a partire dalla sua equazione è necessario seguire quattro passaggi, ossia stabilire quattro caratteristiche della parabola:

• La concavità della parabola. Questo dato può essere valutato in base al segno (positivo o negativo) del coefficiente di secondo grado
  [math] a [/math]
  . In particolare, se quest'ultimo è positivo, la concavità sarà rivolta verso l'alto. Se invece esso è negativo, la concavità sarà rivolta verso il basso.
• Il punto(se esiste) in cui la parabola tocca l'asse
  [math] y [/math]
  (equazione del primo tipo) o l'asse
  [math] x [/math]
  (equazione del secondo tipo). Questo dato viene fornito dal termine noto
  [math] c [/math]
  .
• I punti (se esistono) in cui la parabola tocca l'asse
  [math] x [/math]
  (equazione del primo tipo) o l'asse
  [math] y [/math]
  (equazione del secondo tipo). Questo dato viene calcolato risolvendo l'equazione di secondo grado della parabola, o, come si suol dire, "ricavandone le radici", più precisamente, si tratta di mettere a sistema l'equazione della parabola con l'equazione dell'asse di nostro interesse, che è
  [math] x = 0 [/math]
  se siamo interessati all'asse
  [math] y [/math]
  , altrimenti
  [math] y = 0 [/math]
  se siamo interessati all'asse
  [math] x [/math]
  .
• Il vertice della parabola. È proprio di quest'ultimo punto che tratta il presente appunto.

Il vertice della parabola

Il vertice della parabola è facilmente individuabile se ne osserviamo il grafico: è il punto in cui la parabola e l'asse di simmetria si intersecano, ed ha la caratteristica di essere equidistante dai punti

(fuoco della parabola) ed

(punto di intersezione tra l'asse della parabola e la retta direttrice).
Le coordinate di questo particolare punto sono presto determinate.
Se la parabola ha equazione:

allora il vertice della parabola avrà le seguenti coordinate:

dove:

.
Se invece la parabola ha equazione:

allora il vertice della parabola avrà le seguenti coordinate:

dove:

Sarebbe davvero molto interessante capire da dove derivano queste formule, cioè quali ragionamenti abbiano permesso di determinare le coordinate del vertice di una parabola. Ma tale trattazione si basa su un procedimento piuttosto lungo e complesso, che prende il nome di studio di funzione. Tale studio di funzione richiede, per poter essere compreso, conoscenze matematiche avanzate, ed una trattazione specifica a parte. Ragion per cui nel presente appunto ci limiteremo ad assumere per buone tali formule.

Per ulteriori approfondimenti sullo studio di funzione vedi anche qua

Esempio di calcolo del vertice

Supponiamo sia stata assegnata la seguente equazione:

Come si vede, si tratta dell'equazione di una parabola ad asse verticale.

Il suo vertice avrà dunque le seguenti coordinate:

dove:

Calcoliamo subito

:

. Pertanto:

ossia:

.

Avendo entrambe le coordinate negative, il vertice della parabola si trova nel terzo quadrante del piano cartesiano.