Ali Q di Ali Q
Mito 24444 punti

Il vertice della parabola


La parabola è una curva piana aperta (di forma piuttosto allungata) i cui punti sono equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta d detta direttrice, perpendicolare all'asse di simmetria della curva. La parabola fa parte delle cosiddette "sezioni coniche", cioè di quelle curve piane ottenute da sezioni di cono e non costituite da archi di circonferenza raccordati.

La parabola è rappresentabile attraverso un grafico nel piano cartesiano ortogonale. La relazione che lega tra loro le coordinate (x,y) dei punti del grafico è una funzione matematica, la cui equazione può assumere due forme differenti:

[math]y = ax^2 + bx + c[/math]

[math]x = ay^2 + by + c[/math]

Nel primo caso la curva generata sarà simmetrica rispetto ad un asse verticale, mentre nel secondo caso rispetto ad un asse orizzontale. I due assi (verticale ed orizzontale) a volte coincidono proprio con gli assi y e x del piano cartesiano.

Indicheremo con la lettera "a" il coefficiente del termine di secondo grado, con la lettera "b" il coefficiente del termine di primo grado e con la lettera "c" il termine noto. Tutti e tre possono assumere sia valori positivi che negativi.
Nell'equazione della parabola b e c possono anche essere nulli. Ma non sarà mai nullo a (coefficiente del termine di secondo grado), perchè, se così fosse, la relazione che lega x e y non sarebbe più quella di una parabola.

Il disegno della parabola


Per disegnare la parabola nel piano cartesiano a partire dalla sua equazione è necessario stabilire:

1) La concavità della parabola. Questo dato può essere valutato in base al segno (positivo o negativo) del coefficiente di secondo grado a.

2) Il punto (se esiste) in cui la parabola tocca l'asse y (equazione del primo tipo) o l'asse x (equazione del secondo tipo). Questo dato viene fornito dal termine noto c.

3) I punti (se esistono) in cui la parabola tocca l'asse x (equazione del primo tipo) o l'asse y (equazione del secondo tipo). Questo dato viene calcolato risolvendo l'equazione di secondo grado della parabola, o, come si suol dire, "ricavandone le radici". Procedimento nel merito del quale non entriamo in quanto piuttosto lungo e destinato ad un appunto a parte.

4) Il vertice della parabola. E' proprio di quest'ultimo punto che tratta il presente appunto.

Il vertice della parabola è facilmente individuabile se ne osserviamo il grafico: è il punto in cui la parabola e l'asse di simmetria si intersecano, ed ha la caratteristica di essere equidistante dai punti F (fuoco della parabola) ed O (punto di intersezione tra l'asse della parabola e la retta direttrice).

Le coordinate di questo particolare punto sono presto determinate.

Se la parabola ha equazione:

[math]y = ax^2 + bx + c[/math]

...allora il vertice della parabola avrà le seguenti coordinate:

[math]V = (\frac{-b}{2a}; \frac{-Δ}{4a})[/math]

Dove:

[math]Δ = b^2 - 4ac[/math]

Se invece la parabola ha equazione:
[math]x = ay^2 + by + c[/math]

...allora il vertice della parabola avrà le seguenti coordinate:

[math]V = (\frac{-Δ}{4a}; \frac{-b}{2a})[/math]

Dove:

[math]Δ = b^2 - 4ac[/math]

Sarebbe davvero molto interessante capire da dove derivano queste formule, cioè quali ragionamenti abbiano permesso di determinare le coordinate del vertice di una parabola. Ma tale trattazione si basa su un procedimento piuttosto lungo e complesso, che prende il nome di studio di funzione. Tale studio di funzione richiede, per poter essere compreso, conoscenze matematiche avanzate, ed una trattazione specifica a parte. Ragion per cui nel presente appunto ci limiteremo ad assumere per buone tali formule.

Esempio di calcolo del vertice


Supponiamo sia stata assegnata la seguente equazione:
[math]y = 3x^2 + 4x - 2[/math]

Come si vede, si tratta dell'equazione di una parabola ad asse verticale.

Il suo vertice avrà dunque le seguenti coordinate:

[math]V = (\frac{-b}{2a}; \frac{-Δ}{4a})[/math]

Dove:

[math]Δ = b^2 - 4ac[/math]

Calcoliamo subito Δ.

[math]Δ = 4^2 - 4 \cdot (3) \cdot (-2)[/math]

[math]Δ = 16 + 24 = 40 [/math]

Questo significa che:

[math]V = (\frac{-4}{2\cdot 3}; \frac{-40}{4\cdot 3})[/math]

[math]V = (\frac{-2}{3}; \frac{-10}{3})[/math]

Avendo entrambe le coordinate negative, il vertice della parabola si trova nel terzo quadrante del piano cartesiano.

Hai bisogno di aiuto in Geometria analitica – Esercizi e formule di geometria analitica?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Potrebbe Interessarti
Registrati via email