In questo appunto di matematica si tratta la parabola, la sua equazione , come ricavarla noti alcuni dati e come si traccia il suo grafico.
Indice
Definizione di parabola
Chiameremo parabola il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa detta direttrice.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O, sia F il fuoco e d la retta direttrice. Assumiamo come asse delle y (ordinate) la perpendicolare FQ condotta da F fino alla retta d e come asse delle x (ascisse) la perpendicolare al segmento QF nel suo punto di mezzo. Infine posto in valore e segno QF = p, possiamo scrivere le coordinate del fuoco F come:
F = (0,\frac{p}{2}).
[/math]
Sia P un punto del piano tale che P = (x;y) e D il piede della perpendicolare da P alla direttrice: affinché il punto P stia sulla parabola, occorre e basta che risulti:
PF = PD
dove PF e Pd indicano le misure positive dei segmenti in questione.
In base a tali considerazioni si ha che le coordinate del punto D sono:
D = (x;-\frac{p}{2}).
[/math]
Quindi si calcolano le espressioni dei segmenti PF e PD.
PF = \sqrt[2]{x^2 + (y - \frac{p}{2})^2}
[/math]
PD = \sqrt[2]{(y + \frac{p}{2})^2}
[/math]
e dalla loro uguaglianza si ottiene che
\sqrt[2]{x^2 + (y - \frac{p}{2})^2} = \sqrt[2]{(y + \frac{p}{2})^2}
[/math]
da cui elevando al quadrato e semplificando si ottiene che
x^2 = 2py
[/math]
ed imposto
a = \frac{1}{2p}
[/math]
si ottiene
y = ax^2
[/math]
la quale rappresenta l’equazione canonica o normale della parabola nel sistema di riferimento cartesiano scelto.
In base a quanto ottenuto si possono fare alcune osservazioni di rilievo.
In primo luogo si osserva che la parabola è simmetrica rispetto all’asse delle y (che coincide anche con l’asse della parabola), in quanto funzione pari.
Si chiama vertice della parabola il punto d’incontro fra tale curva ed il suo asse di simmetria: nel caso analizzato il vertice, V, coincide con l’origine O del sistema di riferimento cartesiano.
Il numero p rappresenta la distanza orientata della direttrice dal fuoco e tale numero si chiama parametro della parabola. L’ordinata del fuoco vale la metà di tale parametro, mentre l’equazione della direttrice è
y = -\frac{p}{2}
[/math]
Quindi tenendo conto che
p = \frac{1}{2a}
[/math]
si possono trarre le seguenti conclusioni.
La parabola di equazione
y = ax^2
[/math]
- ha per asse di simmetria l’asse y;
- il suo fuoco F sta sull’asse y e ha coordinate (0;\frac{1}{4a};
- la direttrice ha per equazione y = -\frac{1}{4a};
- il vertice è nell’origine degli assi.
Equazione generica di una parabola
Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, l’equazione
y = ax^2 + bx + c
[/math]
con a, b, c ∈ R con a ≠ 0
rappresenta una parabola.
Al fine di provare ciò sommiamo ad entrambi i membri dell’equazione di partenza la quantità
\frac{b^2}{4a}.
[/math]
y – c = ax^2 + bx
[/math]
y + \frac{b^2}{4a} - c = ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a}
[/math]
y + \frac{b^2 – 4ac}{4a} = a(x + \frac{b}{2a})^2.
[/math]
Fatto questo fissiamo sul piano un nuovo sistema di assi cartesiano ortogonali
O_1XY
[/math]
avente gli assi paralleli agli assi x ed y ed egualmente orientati e come nuova origine il punto O’ di coordinate:
O_1 = (-\frac{b}{2a}; -\frac{b^2 – 4ac}{4a}).
[/math]
Se passiamo a questo nuovo sistema di riferimento si ha che:
x = X - \frac{b}{2a}
[/math]
y = Y - \frac{b^2 – 4ac}{4a}
[/math]
per cui la curva di equazione
y = ax^2 + bx + c
[/math]
rispetto al sistema di riferimento Oxy, nel nuovo sistema di riferimento diventa
Y = aX^2
[/math]
per cui tale curva è una parabola che ha il vertice in
X = 0
Y = 0
nel nuovo sistema di riferimento, mentre rispetto al sistema Oxy le coordinate del vertice sono le seguenti
V = (- \frac{b}{2a}; - \frac{b^2 – 4ac}{4a}).
[/math]
L’asse di simmetria rispetto al vecchio sistema è:
x = - \frac{b}{2a}
[/math]
Le coordinate del fuoco sono:
F = (- \frac{b}{2a}; (\frac{1}{4a}) – (\frac{b^2 – 4ac}{4a}))
[/math]
Mentre l’espressione della retta direttrice è la seguente:
y = (-\frac{1}{4a}) – (\frac{b^2 – 4ac}{4a}).
[/math]
Si noti che se nell’equazione
y = ax^2 + bx + c
[/math]
- a>0 il vertice della parabola è il punto che ha ordinata minima (la concavità della parabola è diretta verso l’alto)
- a
Ai tre parametri che caratterizzano l’equazione della parabola sono legate alcune caratteristiche della stessa:
- se b = 0 la parabola ha il vertice sull’asse delle y;
- se c = 0 la parabola bassa per l’origine del sistema di riferimento;
- se b = c = 0 la parabola ha il vertice nell’origine.
Grafico della parabola
Al fine di disegnare il grafico della parabola si possono considerare alcuni punti significativi e fare alcune considerazioni sull’equazione della parabola.
La prima considerazione da fare riguarda il segno del coefficiente a, il quale ci dice se la concavità della curva analizzata è rivolta verso l’alto o verso il basso. Secondariamente si valuta la posizione del vertice, V, ed in base a questi due dati possiamo stabilire se la curva che vogliamo disegnare ha intersezioni con l’asse delle x o meno.
Se a >0 ed il vertice si trova nel primo o secondo quadrante, la parabola non intersecherà l’asse delle x; analogo ragionamento si può fare se a
Esisterà sempre l’intersezione con l’asse delle y ed al fine di trovare le coordinate di tale punto basterà imporre la y = 0.
Al fine di ottenere un buon grafico della parabola è ovvio che più punti della stessa vengono calcolati, migliore sarà la qualità del grafico ottenuto. A tal fine si consiglia di elaborare una tabella in cui per ogni valore della x viene calcolato il corrispondente valore della y attraverso l’equazione della parabola.
E’ altrettanto ovvio che se si è in possesso di un buon programma di grafica, per disegnare al meglio il grafico di una parabola di cui è nota l’equazione (e da cui si possono ricavare fuoco e direttrice), basta inserire i dati che automaticamente verranno trovati tutti i punti della curva.
Ricavare l’equazione della parabola noti alcuni dati
L’equazione della parabola dipende da tre parametri reali: a, b, c.
Al fine di trovare la sua equazione saranno necessarie tre condizioni in modo tale da impostare un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite che ci permetta di determinarle.
Le condizioni possono essere varie:
- tre punti;
- vertice ed un punto;
- vertice e fuoco;
- vertice e direttrice;
- fuoco e direttrice;
- ecc…
Analizziamo l’esempio in cui sia noto il vertice della parabola ed un punto per cui si suppone che passi:
Sia data la generica equazione della parabola:
y = ax^2 + bx + c
[/math]
Supponiamo che passi per il punto P = (3;1)
ed abbia per vertice il punto
V = (\frac{3}{2};-\frac{5}{4})
[/math]
Svolgimento
Si impone che la parabola passi per il punto P = (3;1):
1 = 9a + 3b + c
[/math]
Le coordinate del vertice sono:
x_v = - \frac{b}{2a}
[/math]
y_v = - \frac{b^2 – 4ac}{4a}
[/math]
per cui si ha che
- \frac{b}{2a} = \frac{3}{2}
[/math]
- \frac{b^2 – 4ac}{4a} = -\frac{5}{4}
[/math]
Il sistema da risolvere è il seguente:
1 = 9a + 3b + c
[/math]
- \frac{b}{2a} = \frac{3}{2}
[/math]
- \frac{b^2 – 4ac}{4a} = -\frac{5}{4}
[/math]
ossia
9a + 3b + c = 1
[/math]
3a + b = 0
[/math]
b^2 – 4ac – 5a = 0
[/math]
le cui soluzioni sono
a = 1
b = -3
c = 1
l’equazione della parabola richiesta è la seguente:
y = x^2 – 3x + 1.
[/math]
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