Progetto Mat@bel: Eredità e bagagli nella classe seconda di un istituto professionale per i servizi alberghieri

IL PROBLEMA DELL’EREDITA’

Un padre di tre figli morì lasciando in eredità 1600 monete d'oro. Il testamento

precisava che il maggiore dei tre doveva avere 200 monete più del secondo e che al

secondo a sua volta spettavano 100 monete più dell'ultimo. Si domanda la quota di

ciascuno.

Seguendo la metodologia appena indicata e facendo uso del concetto di condizione

esplicita, la tabella di traduzione alla fine della terza fase metodologica si presentava,

dopo la sua parziale compilazione nel modo sotto riportato. Si noterà che le incognite

risultano già formalizzate; infatti si è ritenuto opportuno formalizzarle subito

correlandole immediatamente con le condizioni esplicite.

Linguaggio naturale Linguaggio algebrico

Incognite 1) Quota del maggiore per la a) x + 200

2) Quota del secondo per la a) x

3) Quota del minore per la b) x - 100

Condizioni a) La quota del maggiore è pari a quella del secondo

esplicite aumentata di 200 monete

b) La quota del secondo è pari a quella del minore

aumentata 100 monete

di

Condizioni c) Eredità lasciata dal padre morendo: 1600

implicite monete d’oro

Fatto emergere, dopo breve discussione, ma con chiarezza e senza sottintesi, che il dato

delle 1600 monete in realtà determina la considerazione che la somma delle quote dei tre

figli deve essere proprio pari a tale dato, alla fine della quarta fase metodologica, la

tabella di traduzione assumeva il seguente aspetto:

Linguaggio naturale Linguaggio algebrico

Incognite 1) Quota del maggiore per la a) x + 200

2) Quota del secondo per la a) x

3) Quota del minore per la b) x - 100

Condizioni a) La quota del maggiore è pari a quella del

esplicite secondo aumentata di 200 monete

b) La quota del secondo è pari a quella del minore

aumentata 100 monete

di

Condizioni c) La somma delle monete ereditate dai tre figli (x+200)+(x)+(x-100) =1600

implicite deve essere pari a 1600 monete

Si è quindi passati alla risoluzione del problema mediante le regole del calcolo

algebrico. Pagina 6 di 14

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Si è quindi posta agli alunni la seguente domanda:

“come ci saremmo comportati se avessimo deciso di considerare solo come implicite

tutte le condizioni date dal problema?”

Stando a quanto esposto in premessa e dopo breve discussione, è emerso che, dovendo

formalizzare quelle tre condizioni in tre probabili equazioni, le tre incognite potevano

benissimo formalizzarsi ciascuna con una propria lettera variabile in modo da

pareggiare il conto tra numero delle equazioni e numero di variabili presumibilmente

contenute nel sistema che quelle stesse equazioni andrebbero a costituire.

Sicché la tabella di traduzione che si è ottenuta alla fine della fase 4, durante la

sperimentazione in classe, assumeva il seguente aspetto:

Linguaggio naturale Linguaggio algebrico

Incognite 1) Quota del maggiore x

2) Quota del secondo y

3) Quota del minore z

Condizioni Nessuna

esplicite

Condizioni a) La quota del maggiore è pari a quella del secondo x = y + 200

implicite aumentata di 200 monete

b) La quota del secondo è pari a quella del minore y = z + 100

100 monete

aumentata di

c) La somma delle monete ereditate dai tre figli deve x + y + z = 1600

essere pari a 1600 monete

Anche in questo caso si è poi passati alla risoluzione del problema mediante le regole

del calcolo algebrico e si è rilevato come nel seguire tale secondo percorso risolutivo, a

differenza del primo che richiedeva il ricorso ad una semplice equazione, si sia dovuto

necessariamente risolvere un sistema di equazioni. Fatto questo che evidenzia l’utilità

del concetto di condizione esplicita che consentirebbe di proporre il primo percorso

risolutivo come un modello proponibile e adottabile anche nelle prime classi in cui

ancora non si sia affrontato l’argomento inerente i sistemi di equazioni. Pagina 7 di 14

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IL PROBLEMA DEI BAGAGLI IN AEREO

Le linee aeree permettono a ciascun passeggero di portare in franchigia (cioè senza

costi aggiuntivi) un bagaglio non superiore ad un certo peso, oltre il quale si deve

pagare per il trasporto in ragione dei chilogrammi in eccedenza (un tanto per ogni

chilogrammo). Il sig. Carlo e sua moglie fanno un viaggio in aereo con un bagaglio

che complessivamente pesa 54 kg e, dividendolo in parti uguali fra loro, devono

pagare € 21 per i chilogrammi oltre la franchigia. Il sig. Carlo pensa che se viaggiasse

da solo con gli stessi bagagli (suoi e della moglie) dovrebbe invece pagare € 51.

Si chiede qual è il peso che ciascun passeggero può portare in franchigia.

Seguendo le fasi della metodologia precedentemente indicata e facendo uso del concetto

di condizione esplicita, la tabella di traduzione, alla fine della terza fase metodologica

durante la sperimentazione in classe, si presentava, dopo la sua parziale compilazione,

nel modo sotto riportato. Linguaggio naturale Linguaggio algebrico

Incognite 1) Il peso che ciascun paseggero può portare in franchigia

Condizioni Nessuna

esplicite

Condizioni a) Il peso complessivo del bagaglio è di 54 kg e deve

implicite considerarsi suddiviso in parti uguali tra i due

passeggeri

b)Carlo e sua moglie devono pagare insieme 21 € per

i kg che superano il peso in franchigia

c)Carlo viaggiando da solo con gli stessi bagagli

pagherebbe invece 51 €

Si è quindi passati alla quarta fase metodologica.

Dopo aver deciso di formalizzare l’incognita con la lettera x, si è chiesto quindi agli

alunni quali possono essere le considerazioni che si possono trarre a questo punto del

percorso intrapreso. Si è constatato che dalla prima condizione, più che ottenere una

formalizzazione della stessa in un’equazione, si può trarre invece il criterio secondo cui

il peso di un bagaglio comune a più passeggeri deve suddividersi tra gli stessi, criterio

che, oltre a consentirci di venire subito a conoscenza dei limiti entro cui x varia

( infatti se ciascuno dei due passeggeri paga nel portare per sé un peso di 27 kg, vuol

dire che x non potrà superare quel valore), è necessario considerare per poter

formalizzare la seconda condizione b). Ma quando si è tentato di formalizzare la

b) e si è scritto 2(27 – x) = 21 è subito emersa l’incompletezza e l’erroneità di questa

equazione nel momento in cui si poneva mente al fatto che i due membri indicavano

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grandezze diverse: il primo, il peso del bagaglio che eccedeva il peso in franchigia

concesso dal criterio, il secondo, il prezzo pagato dalla coppia per quel peso.

Si è quindi posta agli alunni la seguente domanda:

“quale aggiustamento è necessario apportare al primo membro di quella equazione

perché anch’esso come il secondo possa indicare una grandezza monetaria espressa

in € dando così un senso all’equazione stessa? ”

È subito emerso che era necessario considerare, con riferimento a quel “(un tanto per

ogni chilogrammo)” posto tra le righe del problema, il prezzo per ogni kg eccedente il

peso in franchigia da pagare da parte di ciascun passeggero, prezzo che, formalizzato

con la lettera p, consentiva l’aggiustamento richiesto dell’equazione, definitivamente

formalizzata in 2p(27- x) = 21 . Non sono emerse difficoltà nella formalizzazione della

condizione c). Alla fine della quarta fase metodologica quindi la tabella di traduzione si

presentava nel seguente modo:

Linguaggio naturale Linguaggio algebrico

Incognite 1) Il peso che ciascun paseggero può portare in franchigia x

2) (incognita aggiuntiva) Il prezzo (€/kg) per ogni kg di p

bagaglio che supera il peso in franchigia

Condizioni Nessuna

esplicite

Condizioni a) Il peso complessivo del bagaglio è di 54 kg e deve 0 < x < 27

implicite considerarsi suddiviso in parti uguali tra i due passeggeri

b) Carlo e sua moglie devono pagare insieme 21 € per i kg 2p( 27- x ) = 21

che superano il peso in franchigia

c) Carlo viaggiando da solo con gli stessi bagagli p( 54 – x ) = 51

pagherebbe invece 51 €

Contestualmente, in questa fase, si è evidenziato che non necessariamente le incognite

da dichiarare in tabella devono limitarsi soltanto a quelle richieste dal problema, ma che

anzi, qualora a priori le si ritenga utili ai fini della soluzione dello stesso, possono

introdursene delle altre, ausiliarie, da formalizzare con attenzione possibilmente come

polinomio funzione di quelle richieste dal problema stesso.

Si è quindi passati alla risoluzione del problema mediante le regole del calcolo

algebrico. Pagina 9 di 14

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COMPORTAMENTO DEGLI STUDENTI

Valutare come l’attività è stata accolta dagli studenti e il modo in cui hanno assolto al loro

compito. Descrivere il clima di lavoro e le forme di collaborazione.

L’attività è stata accolta favorevolmente e al tempo stesso con curiosità ed entusiasmo.

Gli alunni hanno partecipato con attenzione e impegno e lavorato interagendo con

l’insegnante avvalendosi dei suoi stimoli, suggerimenti, interventi e della sua stessa

collaborazione.

In uno stadio più avanzato dell’attività però essi hanno prima lavorato in piccoli gruppi,

e infine individualmente, partecipando sempre attivamente a tutte le fasi dello

svolgimento dell’attività.

APPRENDIMENTO: SUCCESSI E DIFFICOLTA’

Rilevare i risultati positivi o le difficoltà incontrate dagli studenti nella comprensione dei vari

concetti matematici e le metodologie di superamento

Risultati positivi Commenti ai risultati

Gli alunni L’attività, che ovviamente è inerente a una

- hanno acquisito maggior confidenza e situazione problematica, si è mostrata utile

dimestichezza con la tecnica di forma - nello sviluppare sia le capacità espressive

lizzazione. degli alunni sia quelle critiche e intuitive

- Hanno compreso la differenza concettuale nonché nel consolidare le regole necessarie

tra condizione esplicita e condizione im - alla risoluzione di equazioni e sistemi di

licita. equazioni.

- Hanno compreso il concetto di incognita

aggiuntiva

Difficoltà Metodologie di superamento

Alcuni alunni hanno incontrato difficoltà: - Fornendo altri esempi con numerose pro -

- in particolari traduzioni in formalizzazione; poste di affermazioni e problemi da for -

- nella comprensione della differenza tra malizzare algebricamente;

condizione implicita ed esplicita e nella re- -