Pi greco, storia e mito di un numero antico: come presentarlo in classe

AB

2 2 2 =

= + = −

AH e

AD AH HD (con AB noto) ; ( è noto)

HD OD OH OD

2

• OH

Per determinare consideriamo il triangolo rettangolo OHA: per il teorema di Pitagora si ha:

AB

2 2 2 =

= −

OH OA AH OA

AH e

(con noto)

2 = − − 2

Sostituendo i dati e risalendo la procedura si ottiene: l 2 4 l che trasformata

2n n

+ −

2 l 2 l

= −

n n

l

con la formula dei radicali doppi diventa: 2n 2 2

Esercitazione assegnata come compito a casa:

PROBLEMA 3: Dato un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di

il suo lato, determinarne perimetro e area.

raggio unitario, indicato con l n

PROBLEMA 4: Determinare in funzione del lato l del poligono regolare inscritto di

n

n lati, perimetro e area del poligono regolare circoscritto, avente lo stesso numero di

lati.

II° momento:Un po’ di storia:

Questo secondo momento dell’unità didattica vede protagonisti esclusivamente gli alunni: seguendo

alcune indicazioni bibliografiche fornite dall’insegnante, reperendo materiale nelle biblioteche o

online, si richiede agli alunni, che lavoreranno in piccoli gruppi coordinati da uno di loro, di

presentare, in una qualunque forma decisa dal coordinamento del gruppo, una breve storia del

π.

numero I lavori finali verranno poi sintetizzati in un unico prodotto, che sarà considerato la

realizzazione di un “progetto della classe” e fatto circolare all’interno della scuola in collaborazione

con le insegnanti delle classi parallele.

O

BIETTIVI

Formativi

sviluppo di autonomia nell’approccio ad un argomento

sviluppo della capacità di accettare le opinioni altrui

sviluppo della capacità di collaborare con i compagni

sviluppo della capacità di sintesi

Bibliografia:

Oliverio: “Il mondo dei numeri – letture di matematica” ; ed. Laterza

Bartoli, De Rinaldis: “Matematica 2” ; ed. Marietti Scuola

L. Citrini: Rubriche: curiosità in Mathesis Milano n°10, 1995

Speranza, Dell’Acqua: “Il linguaggio della matematica” ; ed. Zanichelli

Denis Guedj: “Il teorema del pappagallo” ; ed. SuperPocket

Douglas R. Hofstadter: “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante“ ; ed. Adelphi

III° momento: uso della TI-92

:

Riflessione preliminare π,

La ricerca storica relativa al ha fatto conoscere agli alunni il metodo proposto da Archimede nella

”: la circonferenza può essere pensata come il contorno

sua opera “

La misura del circolo

di un poligono regolare di infiniti lati, il cerchio come il poligono di infiniti lati.

Sappiamo che congiungendo i punti medi dei lati di un

triangolo equilatero si ottiene un altro triangolo equilatero

in modo tale che il primo sia circoscritto e il secondo H A

B

inscritto rispetto alla stessa circonferenza.

La misura della circonferenza o l’area del cerchio

soddisfano le disuguaglianze: L K

< <

2p 2p e

misuracfr

HKL ABC

< <

Area Area

areacerchi o

HKL ABC

Se aumentiamo il numero dei lati del poligono inscritto e Figura 3

di quello circoscritto, le disuguaglianze precedenti C

permetteranno di restringere l’intervallo in cui cade

e .

misuracfr areacerchio

Le formule trovate durante la lezione di geometria e quelle ottenute nel compito assegnato a casa

permettono di determinare, partendo dalla misura del lato del triangolo equilatero inscritto, la

misura del lato del triangolo equilatero circoscritto e di seguito quella dell’esagono inscritto e

circoscritto, del dodecagono inscritto e circoscritto, del poligono di 24 lati inscritto e circoscritto,

ecc., la misura del perimetro e l’area di ciascun poligono nominato.

C

ONTENUTI

1. costruzione di un programma che generi la misura del lato del poligono inscritto di 2n lati data

la misura del lato del poligono inscritto di n lati

π

2. costruzione di tabelle per la determinazione di

P

REREQUISITI

1. conoscere gli elementi base della programmazione

2. conoscere il linguaggio di programmazione della TI-92

O

BIETTIVI

Saper fare

saper usare la struttura del ciclo enumerativo

saper sfruttare risultati ottenuti in un ambiente della TI-92 e passarli ad altro ambiente

M ETODOLOGIA

Il lavoro si svolge in classe con viewscreen e una calcolatrice per alunno; la costruzione del listato

del programma viena fatta precedere dallo studio del problema e dalla sua schematica soluzione

attraverso un diagramma a blocchi.

T

EMPI

Lo svolgimento di tale argomento e' previsto in 3 unità orarie.

S

VILUPPO DEI CONTENUTI

: Assegnata la misura del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

PROBLEMA 1

di raggio unitario, determinare la misura del lato dell’esagono inscritto, del dodecagono e così di

seguito. :

Osservazione preliminare + −

2 l 2 l

= −

n n

l permette di passare dalla misura del lato del poligono

Poiché la formula 2n 2 2

inscritto di n lati a quella del poligono inscritto di 2n lati, la soluzione del problema consiste in una

applicazione ripetuta di tale formula sostituendo come dato iniziale il lato appena generato, secondo

lo schema: + −

2 l 2 l

= −

n n

leggi l l :=l

l :

n n 2n

2n 2 2

Figura 4

L’ambiente di programmazione della TI-92 ci permetterà di costruire un programma che generi la

misura del lato dei poligoni inscritti richiesti dal testo del problema, per un numero arbitrariamente

scelto di iterazioni. (10 nel nostro caso) e

Dopo aver accesa la calcolatrice premiamo il tasto APPS

di seguito 7: Program Editor 3: New… : ci troviamo nella

situazione illustrata nella figura accanto. Figura 5

Quando premiamo compare la seguente videata

ENTER

nella quale inseriremo nella riga Variable il nome che

attribuiamo al nostro listato Figura 5.1

Premiamo il tasto per due volte; si apre il modello vuoto di un programma nel quale

ENTER

possiamo scrivere le istruzioni per risolvere il nostro problema.

, la misura del lato del poligono inscritto con

Il listato del programma che genera, a partire da l 3

numero doppio di lati ( da l a l , da questo a l fino a l ) è riportato di seguito:

3 6 12 3072

:

osservazioni preliminari

• nel programma si utilizzano le variabili locali:

n che controlla il ciclo enumerativo,

li cui è attribuita la misura del lato iniziale ( l ),

3

lati che conterrà, per ogni n del ciclo, la misura del lato via via generato

: prova()

: Prgm

: Local n,li,lati --------------------- > variabili locali

: ClrIO --------------------------- > pulisce lo schermo

: setMode(“Exact/Approx”,”APPROXIMATE”) > predispone la TI-92 a lavorare

in modo approssimato

√(3)->li

: ----------------------- > assegna la misura di l n

: Disp li --------------------------- > scrive il valore iniziale

: For n,1,10 ------------------------ > inizio del ciclo che genera i lati

√((2+li)/2)- √((2-li)/2)->lati[n]

Disp lati[n]

lati[n]->li

: EndFor -------------------------- > fine del ciclo

: lati->lista1 -------------------- > costruisce la lista dei lati

: Disp lista1

: {√(3)}->lista2 ----------- > assegna il valore iniziale come elemento

di un’altra lista

: Disp lista2

: augment(lista2,lista1)->lista3 --- > unisce le due liste

: Disp lista3 --------------------- > scrive l’elenco da quello iniziale

all’ultimo generato

: EndPrgm con

Lanciamo il programma, dopo essere tornati in HOME

♦+

la sequenza di tasti Q , digitando il suo nome nella riga

di introduzione Figura 6

; vedremo comparire in basso a destra

seguito da ENTER

, prima di ottenere nello schermo Program I/O il

BUSY

risultato riprodotto nella Figura 6.1.

Figura 6.1 :

osservazioni finali

• nel listato sono inserite istruzioni del tutto inutili all’obiettivo prefissato: esse possono servire

per controllare via via l’esattezza della procedura e del linguaggio usato; riportiamo in seguito la

stesura più snella, essenziale per il nostro scopo.

• il contatore n del ciclo enumerativo si ferma quando n assume il valore 11: esso può ovviamente

essere cambiato a seconda delle nostre esigenze

• lo schermo di output del programma non permette una buona visualizzazione del risultato, né

tantomeno una elaborazione di ciò che abbiamo ottenuto

Modifichiamo il listato eliminando le istruzioni che non interessano e,

: prova()

: Prgm

: Local n,li,lati

: ClrIO

: setMode(“Exact/Approx”,”APPROXIMATE”)

√(3)->li

:

: For n,1,10

√((2+li)/2)- √((2-li)/2)->lati[n]

lati[n]->li

: EndFor

: lati->lista1

: {√(3)}->lista2

: augment(lista2,lista1)->lista3

: Disp lista3

: EndPrgm

tornati in , lanciamo il programma;

HOME

ancora il risultato non è leggibile completamente

Figura 7 , digitiamo sulla riga di introduzione

Per visualizzare tutta la lista delle misure dei lati, in HOME

se scorriamo la lista mediante il cursore tutti i valori sono leggibili, ma ancora non ne

lista3:

possiamo fare un’elaborazione. Figura 8

: elaborare i risultati ottenuti in modo da costruire, a partire dalla misura del lato del

PROBLEMA 2

poligono inscritto, quella del lato del poligono circoscritto avente lo stesso numero di lati, il

perimetro di ciascun poligono e l’area al fine di dare una valutazione della misura della

circonferenza e dell’area del cerchio.

Apriamo una sessione di Data/MatrixEditor: poi

APPS

6 e poi 3 , compare la seguente finestra nella quale

inseriremo il nome del file nella cella denominata

Variable Figura 9

Figura 9.1

Dopo aver premuto due volte compare il foglio di lavoro nel quale possiamo costruire:

ENTER

• nella prima colonna la successione del numero dei lati

del poligono regolare a partire da 3; questo si realizza

1

con l’istruzione posta nella cella c

(attenzione: la sequenza deve rispettare il valore finale di

)

n assegnato nel ciclo for del programma prova()

Figura 10

• nella seconda colonna, che intesteremo “inscritto”, si porta il risultato del programma prova()

2 lista3

scrivendo nella cella c

Figura 10.1

• nella terza colonna, intestata con “circoscritto”, facciamo calcolare con la formula

2l n

L = , nella quale l è ciascun elemento

n n

2

4 - l n 2, il lato del poligono circoscritto

della colo