Zero, storia di un numero e di un'idea

Storia di un numero e di un’idea

Nulla è più interessante del nulla, nulla è più intrigante del nulla e nulla è più importante del nulla.

Lo zero è uno degli argomenti preferiti dai matematici, un autentico vaso di Pandora, per curiosità e paradossi. Ian Stewart

Borlengo Sara

Classe 5°B

Anno scolastico 2006/2007

Liceo Scientifico P.N.I. Norberto Bobbio

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Indice

• 1. Perché lo zero? p. 1
• 2. Zero: tutta la storia p. 3
• 2.1. Dagli Egizi ai Sumeri: primi passi verso lo zero p. 3
• 2.2. Il problema del “posto vuoto”: Babilonesi e Maya a confronto p. 4
• 2.3. Lo zero indiano: un numero, un’idea p. 6
• 2.4. Dalle Piramidi alle Alpi: lo zero sbarca in Europa p. 8
• 3. Perché tanta diffidenza? p. 10
• 3.1. Zeri quotidiani p. 10
• 3.2. Horror vacui: il nulla non esiste! p. 11
• 3.3. Da zero a infinito: l’altra faccia della medaglia p. 12
• 4. Lo zero delle scienze p. 14
• 4.1. Zeri matematici: numeri e punti p. 14
• 4.2. Dal vuoto atomico al vuoto quantistico p. 15
• 5. Il nulla, un solo grande protagonista p. 17
• 5.1. Sartre e l’esistenzialismo: il nulla nella speculazione filosofica p. 17
• 6. Molto rumore per nulla p. 19
• 6.1. E il nulla compare all’improvviso: Eugenio Montale in un’aria di vetro p. 19
• 6.2. Il nulla più radicale: Leopardi e la nullità dell’Uomo p. 21
• 6.3. L’arte e il nulla: tante soluzioni, un solo protagonista p. 23
• 7. Bibliografia e sitografia p. 28

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1. Perché lo zero?

Decidere come iniziare un libro è altrettanto complicato quanto determinare le origini dell’universo. 1

John D. Barrow

Nel mio caso non si tratta né di scrivere un libro, né tantomeno di individuare le origini del cosmo, bensì molto più semplicemente di approfondire, al termine di un ciclo di studi liceali, una tematica a parer mio accattivante.

Tuttavia, perché tanto interesse per lo zero? E perché scegliere di affrontare proprio il nulla? La risposta è tanto complessa quanto la materia cui intendo accostarmi.

La prima motivazione è che amo la matematica, e come spesso mi accade di fronte a “meraviglie” matematiche, anche davanti allo zero non riesco a restare indifferente; mi ha sempre affascinato: come spiegare la bellezza di un numero che da solo non vale proprio nulla, eppure mutato di poche posizioni diventa una cifra del tutto rispettabile? Lo zero è forse una delle invenzioni più geniali della Storia, e tuttavia, com’è avvenuto con la maggior parte delle scoperte umane più significative, esso viene ampiamente utilizzato senza che se ne riconosca l’importanza, sfruttato e svuotato della propria natura. E poi è la cifra più curiosa che esista: è un numero oppure no? E ha senso parlare di zero o la questione è del tutto irrilevante? Eccoci giungere così alla seconda motivazione. Perché lo zero non è solo un semplice circolino che siamo abituati a vedere fin dai nostri primi calcoli in colonna. Lo zero equivale ad una mancanza, ad una assenza, ad un buco: insomma, equivale al nulla. E che cos’è questo nulla di cui gli antichi Greci avevano tanto orrore, che ha terrorizzato la letteratura cristiana medioevale e ha assillato artisti e filosofi, alle prese con il significato dell’esistenza umana? Il nulla c’è, non possiamo negarne l’esistenza; il cosmo ha origine dal nulla, la vita ha origine dal nulla e, come l’universo, ad esso ritorna. Ma come esprimere un qualcosa che non c’è, come rappresentarlo visivamente e renderlo tangibile?

Sono state queste domande a condurmi alla scelta, forse azzardata, di affrontare un tema “scomodo”, ma stimolante, perché indefinito, misterioso e a me totalmente ignoto. Non pretendo di fornire alcuna soluzione, né sarebbe possibile formularne una: il concetto di nulla, a differenza dei calcoli elementari con lo zero, non porta a risultati certi. Tuttavia, se penso al nulla la mia mente non si popola soltanto di immagini di pazzi filosofi consumati dall’amore per il sapere ed eccentrici letterati troppo pessimistici per superare il proprio nichilismo. Se penso al nulla, uno scenario di montagna appare ai miei occhi, e non soltanto perché amo la montagna al pari della matematica: cime alte e innevate, del tutto incontaminate, che si ergono imponenti davanti a me sovrastando tutto ciò che mi circonda. Di fronte ad alcune manifestazioni della natura, tra cui in primis l’incommensurabile grandezza di un paesaggio alpino inviolato, mi sembra impossibile non percepire quel senso di nulla tanto ricercato dall’arte, soprattutto novecentesca, ed espresso nei modi più disparati. Che cos’è l’uomo di fronte allo spettacolo della natura del mondo e all’infinità dell’Universo? Leopardi stesso

1 John D. Barrow, Da zero a infinito, la grande storia del nulla, Milano, Mondadori, 2000 2

aveva avuto una intuizione simile, osservando estasiato una pianta di ginestra alle pendici del Vesuvio. Siamo un nulla, a ben vedere. Se domani decidessimo di ritirarci a vivere su un albero, sull’esempio di un Barone di calviniana memoria, il mondo farebbe tranquillamente a meno di noi. Eppure la mia immagine di nulla non si conclude qui. Una seconda scena si apre al mio sguardo: come in uno zoom progressivo, la carrellata successiva è infatti incentrata sugli osservatori di quel panorama alpino mozzafiato. Seguiamo la macchina da presa ed ecco gli spettatori: si tratta di una comitiva di persone; non importa il sesso, l’età, la nazionalità: sono uomini, e tanto basta. In quel gruppo di individui ciascuno non è più soltanto un nulla, perché se uno dei componenti stabilisse di ritirarsi su un albero, in quella compagnia la situazione cambierebbe, e in maniera piuttosto evidente. Ognuno non è più un nulla, ma un mondo a sé, un microcosmo con le proprie meraviglie e i propri lati oscuri. Ciascuno racchiude in sé una potenzialità infinita.

Ecco a cosa conduce in ultima analisi la mia riflessione sullo zero. E allora che cos’è il nulla? Ai posteri l’ardua sentenza. 3

2. Zero: tutta la storia

Certamente lo zero ha tutti i segni dell’artificio umano: destrezza, ambiguità, understatement 2

Robert ed Ellen Kaplan

2.1. Dagli Egizi ai Sumeri: primi passi verso lo zero

Nell’antichità gli Egizi erano notoriamente definiti veri maestri di geometria. Plutarco narra che la insegnarono a Talete e a Pitagora. I papiri ritrovati testimoniano conoscenze piuttosto elaborate: essi sapevano misurare terreni e ristabilire i confini dei campi dopo le inondazioni del Nilo, conoscevano formule per calcolare l’area di figure piane e il volume di solidi come il tronco di piramide. Eppure nei papiri non vi è alcuna traccia dello zero, il primo e il più ambiguo dei numeri, così come non si trova nella matematica greca, che ampliò considerevolmente le conoscenze degli Egizi e con la creazione della logica costituì le basi di tutta la matematica moderna. La mancanza dello zero non si fece infatti sentire fino a quando si usarono sistemi additivi di rappresentazione numerica. La numerazione egizia ricorreva alla ripetizione di una sequenza di simboli corrispondenti ad uno, dieci, cento, mille, diecimila, centomila e un milione; i segni comparivano in ordine di grandezza decrescente, ma soltanto per una questione stilistica: le posizioni relative dei simboli dei numerali non fornivano alcuna informazione numerica, cosicché non vi era la necessità di un simbolo per lo zero; se i numeri possono stare in qualsiasi posizione senza modificare la quantità totale che rappresentano, non c’è possibilità di un “posto” vuoto e un segno della sua presenza non avrebbe senso. E nel caso in cui non ci fosse nulla da contare, semplicemente non si scriveva alcun simbolo. Al vantaggio del sistema additivo, e cioè l’indipendenza dall’ordine degli addendi, si opponevano però sostanziali svantaggi: da un lato la teorica necessità di infiniti simboli per le infinite potenze della base, dall’altro la pesantezza della rappresentazione, che richiedeva troppe ripetizioni.

I Sumeri tentarono di ovviare al problema introducendo una nuova caratteristica: il loro sistema di numerazione non era puramente decimale, in quanto si serviva della base dieci per individuare le grandezze, ma introduceva anche il numero sessanta come seconda base; i simboli individuavano i numeri uno, dieci, sessanta, seicento, tremilaseicento e trentaseimilaseicento. Fig. 1: I segni che rappresentavano i numerali sumeri.

2 Robert ed Ellen Kaplan, The Art of the Infinite, Oxford, OUP, 2003 4

Tuttavia il simbolo corrispondente a 600 combinava la tacca che indicava il 60 con il cerchietto che rappresentava il 10. Questo schema creava una notazione moltiplicativa: c’erano meno simboli da imparare e quelli dei grandi numeri avevano una logica interna che consentiva di generare numeri maggiori partendo da quelli minori, senza dover inventare nuovi segni. Un cambiamento significativo avvenne intorno al 2600 a.C, grazie all’uso di uno stilo in grado di produrre linee più sottili e segni a forma di cuneo di differenti dimensioni. Il passo successivo nell’affinamento dei metodi, e che portò all’esigenza di inventare il simbolo dello zero, fu l’introduzione di un sistema posizionale in cui le ubicazioni dei simboli determinavano i loro valori. Ciò consentiva di usare un numero minore di segni, dal momento che lo stesso simbolo poteva assumere significati differenti a seconda

Fig. 2: Segni cuneiformi raffiguranti l’1 e il 10 della posizione.

2.2. Il problema del “posto vuoto”: Babilonesi e Maya a confronto

Un posto non è nulla: neppure spazio, a meno che al suo cuore ci sia un numero. 3

Paul Dirac

Un primo sistema posizionale fece la sua apparizione in Babilonia attorno al 2000 a.C; esso si limitava a estendere la notazione cuneiforme e il vecchio sistema additivo in base sessanta in modo che includessero l’informazione posizionale. Esso era usato in modo particolare dai matematici e dagli astronomi più che per la contabilità quotidiana, ma ben presto fu utilizzato nella registrazione dei decreti reali. In esso il numero 10.292 sarebbe stato concepito come (2 x 60 x 60) + (51 x 60) + 32 (v. fig. 3).

Fig. 3: Il numero 10.292 in cuneiforme

Si tratta di una rappresentazione perfettamente analoga a quella di cui ci serviamo noi, utilizzando le varie potenze di 10 anziché di 60; il sistema sessagesimale risulta il medesimo da noi impiegato per le misure di tempo: 7 ore, 5 minuti e 6 secondi corrispondono a (7 x 60 x 60) + (5 x 60) + 6 = 25.506 secondi. Il più antico sistema posizionale decimale simile al nostro non apparve prima della fine del III secolo a.C, quando i Cinesi introdussero il valore posizionale nel loro sistema di segni in base dieci. Il sistema babilonese era ancora un ibrido,

3 Paul Dirac, I principi della meccanica quantistica, Torino, Bollati Boringhieri, 1959 5

in quanto l’indicazione del numero per cui andava moltiplicata ciascuna potenza di 60 era ancora espresso in forma additiva. Ciò avrebbe potuto causare ambiguità se non si fosse lasciato sufficiente spazio tra una potenza di 60 e la successiva. Questa difficoltà veniva in genere affrontata separando nettamente i diversi ordini di 60; tuttavia quando gli spazi bianchi sono più di uno risulta difficile valutarli: si pensi con quale facilità possono essere confusi i numeri 72 (settantadue), 7 2 (settecentodue) e 7 2 (settemiladue). Questa è la ragione per cui, dopo aver operato per 1500 anni senza un simbolo dello zero, i Babilonesi introdussero un segno di separazione: esso consisteva in due cunei sovrapposti, una doppia cuspide che permetteva di indicare un posto vuoto nella rappresentazione di un numero.

Fig. 4: Il simbolo “separatore” per indicare i posti vuoti nell’espressione di un numero; nell’esempio, il numero 3612= (1x60x60)+(0x60)+(1x10)+2

Da quando fu acquisito nel mondo dell’astronomia, data l’enorme importanza dell’astronomia babilonese, esercitò una notevole influenza attraverso i secoli, costituendo la prima rappresentazione simbolica dello zero nella storia della cultura umana. Tuttavia, lo zero dei Babilonesi non significava nulla più di uno spazio vuoto nel registro contabile: non veniva mai scritto come risultato di una operazione, quale potrebbe essere (5 – 5), e non era neppure associato ad un concetto metafisico di nulla. Non vi era alcun intreccio astratto: esso rispondeva semplicemente alle esigenze di un popolo di contabili.

Fig. 5: Il numero 7215, trovato su una tavoletta recante registrazioni di osservazioni astronomiche, datata tra la fine del III e l’inizio del II secolo a.C.

Il terzo sistema posizionale della storia della matematica mondiale in ordine cronologico venne ideato dai Maya, che raggiunsero livelli di grande raffinatezza nell’ambito delle scienze, matematiche e astronomiche in particolare. Il loro sistema di numerazione si fondava

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su una base venti e i numeri erano composti da combinazioni di punti, ciascuno equivalente a uno, e di aste, equivalenti a cinque. I primi diciannove numeri erano costruiti con punti e linee secondo uno schema additivo, derivato probabilmente da un sistema di numerazione anteriore basato sulle dita delle mani e dei piedi.

Quando si dovevano scrivere numeri maggiori di 20 si creava una sorta di torre di simboli, il cui piano terreno indicava i multipli di uno, mentre il primo piano conteneva multipli di 20; al secondo piano, poi, non vi erano multipli di 20 x 20, ma di 360, in maniera tale che ogni livello rappresentasse multipli di 20 volte maggiori di quelli del livello precedente, leggendo il numero dall’alto verso il basso. Il punto usato come simbolo dell’unità, talvolta sostituito da un cerchietto, si ritrova in tutta la regione sudamericana e secondo alcune ipotesi deriva dall’uso di semi di cacao come unità monetarie. Il sistema posizionale maya era integrato da un simbolo per lo zero a indicare l’assenza di moltiplicatore a uno dei livelli Fig. 6: I numeri maya da 1 a 20

della “torre”; il simbolo assomigliava ad una conchiglia, o secondo altre interpretazioni, ad un occhio. I Maya usavano lo zero sia in posizione intermedia, sia in posizione finale nelle loro sequenze di simboli. Tuttavia, nel nostro sistema decimale ciascun livello è correlato al precedente tramite potenze della base (dieci nell’esempio considerato) e ciò permette di “quantificare” l’effetto dello zero, dato che aggiungerlo alla destra di un numero comporta sempre la moltiplicazione per il valore della base; il sistema dei Maya, invece, manca di questa proprietà a causa delle distanze diseguali tra un livello e l’altro. Essi non introdussero mai una sequenza regolare di livelli perché non rispondeva alle loro esigenze di astronomi: il calendario più comune era composto da 360 giorni, divisi in periodi di 20 giorni; ciascun periodo era indicato con un’immagine che combinava i simboli degli intervalli di tempo con quelli che specificavano quanti di questi intervalli andavano considerati. Spesso in questi pittogrammi lo zero era dipinto con geroglifici differenti, a seconda dell’aspetto esteriore della composizione di simboli: insomma, lo zero fu introdotto per ragioni di carattere estetico, perché la rappresentazione grafica di una data apparisse più completa ed equilibrata.

2.3. Lo zero indiano: un numero, un’idea

Lo zero indiano rappresentava la vuotezza o l’assenza, ma anche lo spazio, il firmamento, la volta celeste, come pure il nulla, la grandezza di cui non tenere conto, l’elemento insignificante. 4

Georges Ifrah

4 Georges Ifrah, From One to Zero, New York, Viking, 1985 7

Occorre attendere il VII secolo per ritrovare uno zero che non si limiti ad indicare uno spazio vuoto, ma lo stesso concetto di nulla. In India, in una civiltà che presentava un sistema posizionale in base dieci fondato sull’utilizzo di nove numeri distinti e su diversi nomi specifici per le potenze di dieci, lo zero compare per la prima volta già in un testo cosmologico del 458 d.C, giunto integro fino a noi. Inizialmente rappresentato da un punto, a poco a poco si iniziò ad usare il simbolo circolare 0: lo zero indiano indicava l’assenza di una cifra in qualunque posizione, ma fungeva anche da operatore, in grado di moltiplicare per la base ciascun numero, ed era incluso tra i possibili risultati di un calcolo. Un brano poetico in sanscrito di Bihârlâl esprime il concetto matematico di zero moltiplicativo, utilizzandolo per esprimere la propria ammirazione per una donna bellissima, alludendo al punto sulla sua fronte in termini matematici:

Il punto sulla sua fronte

accresce la sua bellezza di dieci volte,

proprio come un punto zero 5

accresce un numero dieci volte

La sua introduzione è da attribuire all’uso degli abachi su cui i numeri venivano rappresentati con sassi o semi, e che porta a sentire intuitivamente la necessità dello zero. Nel IX secolo d.C. il grande matematico indiano Mahavira intuisce che quel simbolo può diventare un numero vero, come tutti gli altri. Lo zero è il primo dei numeri, è pari ed ha proprietà piuttosto strambe: se lo si aggiunge a un qualsiasi altro numero, per esempio 2, questi non aumenta: 2 + 0 =2. Anche se lo si sottrae ad un numero, questi non diminuisce: 2 - 0 = 2. Se invece moltiplico un qualsiasi numero per 0, ottengo sempre lo stesso risultato: 0. E, secondo Mahavira, se divido 2 o 3 o 4 per il zero ottengo lo stesso e medesimo risultato, zero.

Il nuovo simbolo consente di introdurre i numeri negativi e di dare solide fondamenta all’aritmetica, per contabilizzare i debiti.