Nota su una proposizione matematica con duplice dimostrazione, per deduzione e per induzione

NOTA SU UNA PROPOSIZIONE MATEMATICA CON DUPLICE

DIMOSTRAZIONE PER DEDUZIONE E PER INDUZIONE

1

Carolla Guido, Maggiore Fausto

1. Premessa su una formula dei primi

Ricorre talvolta che si possa dimostrare una proposizione matematica per deduzione e per

induzione. Si tratterà una di tali proposizioni allo scopo di poter fare il confronto delle qualità

contenute nei due procedimenti dimostrativi, cioè la linearità e la concisione. La proposizione

rientra nella teoria dei numeri naturali ed attiene all’equazione

= + ⋅

2 n (1)

p p

k h

∈

numeri primi, , alla condizione:

con , n N

p p

h k ≤ ≤ . (2)

2 h k

Da questa si deduce che i tre termini della (1) sono formalmente compatibili in quanto , sono

p p

h k

=

dispari (è escluso 2 : unico ‘primo’ pari) e il terzo termine

p 1

2 n è pari. Quindi l’equazione è formalmente corretta. L’interesse della (1) risiede nella

“caratterizzazione” del parametro n. Esso è definito dalla seguente

Prop. (3): il parametro n dell’equazione (1) è il numero dei “pari” compresi tra e .

p p

h k

2. Una dimostrazione per deduzione

Per chi ha l’esigenza si dà la dimostrazione per via deduttiva, partendo dall’ipotesi che tra i numeri

i=1, 2, 3, ..., n ,

primi e vi possano essere alcuni numeri naturali pari indicati con ,

p p m i

h k r=2

infatti, si osserva che essi sono termini di una progressione aritmetica (di ragione ),della quale i

termini estremi, cioè il primo e l’ultimo sono:

= + = −

1 1

, . (4)

p p

m m

1 n

h k r=2 n

Essendo noto che in una progressione aritmetica di ragione , il termine .simo in funzione del

( ) ( )

= + − ⋅ = − +

n 1 r n 2 1

primo termine è , da questa si potrà ricavare , nella quale

m m m m

n 1 n 1

( ( )

) ( ) ( )

= − − + + = − − + = −

n 1 1 2 1 2 2 1 2

sostituite le (4) si otterrà e tale

p p p p p p

k h k h k h

risultato dimostra la Prop. (3), quindi potendosi ricavare da esso proprio la (1), ciò completa la

= + ⋅

2 n c. v. d. .

dimostrazione deduttiva della stessa p p

k h

Una dimostrazione della formula dei primi partendo da quella della formula dei dispari

3. = + ⋅

2 n per induzione su n, k.

d d

k h

Si premette che il ragionamento induttivo è un po’ meno lineare e conciso rispetto al precedente;

affinché esso recuperi dette qualità è opportuno che si svolga per via indiretta sull’insieme dei

{ }

naturali dispari dei quali le equazioni generatrici sono

d : d numeri dispari

= = + , (5)

1

, 2

d d d

+

1 k 1 k { } 2

anche se sia possibile procedere per via diretta sull’insieme .

p : p numeri primi dispari

,

,

Alla sua conclusione, rispettivamente mediante le sostituzioni con , si riporterà il

p p

d d

h k h k

{ }

p : p numeri primi dispari

risultato sull’insieme .

1 Entrambi già docenti di Matematica: Guido Carolla piazza G. Mazzini n. 24, 73100 Lecce, tel. 0832317045, cell.

3474632979, e-mail guidocarolla@libero.it; Fausto Maggiore via Paisiello, n. 40, 73100 Lecce, tel. 0832346960.

2 “Appendici”.

Cfr. [2] e relative