Il gioco come strumento didattico: una nuova frontiera per l'insegnamento della matematica

B B

 

2 3

x e x

2 3

A A

dove B e B sono le matrici formate da A sostituendo, rispettivamente,

2 3

alla seconda ed alla terza colonna la colonna dei termini noti.

E questa è proprio la formula di Cramer per un sistema di tre equazioni in

tre incognite.

Ho lasciato come compito a casa quello di risolvere nuovamente il sistema

del gioco di partenza utilizzando però il metodo di Cramer.

Tranne una breve parte introduttiva più dialogata la lezione si è svolta

principalmente con il metodo della lezione frontale.

Inerentemente alla dimostrazione del teorema ho scelto di svolgere tutti i

passaggi, anche i più banali, senza dare niente per scontato e cercando in

33

ogni nuovo elemento il riscontro da parte della classe sulla comprensione

di quanto detto. I ragazzi, dal canto loro, sono stati attenti ed hanno

interagito abbastanza, soprattutto se stimolati con domande e

provocazioni. Ho notato soprattutto che prendevano appunti negli spazi

appositamente lasciati nella dispensa.

Infine devo ammettere che effettuare una lezione frontale, in cui il docente

spiega seguendo un suo filo logico, è un po’ più semplice rispetto alla

lezione dialogata: quest’ultima infatti comporta una certa maestria nel non

perdere la rotta a seguito degli stimoli prodotti dai ragazzi.

Anche la terza lezione si è svolta totalmente in laboratorio, la possibilità di

svolgere questa parte in due ore consecutive mi ha permesso di trattare

l’ultimo argomento, il più importante, in modo completo ed omogeneo,

senza doverlo interrompere e riprendere in seguito con il rischio di perdere

il filo logico del discorso.

Sempre in riferimento alla quantità di tempo a disposizione ho deciso di

alternare momenti di lezione dialogata a momenti di lezione frontale

inserendo all’inizio un piccolo laboratorio in cui i ragazzi potessero

lavorare ancora una volta in gruppi.

Come prima cosa ho chiesto un riscontro sull’esercizio lasciato per casa e

sulla lezione precedente in modo che se ci fossero dubbi ed

incomprensioni si potessero chiarire prima di andare avanti; poi ho

proposto ai ragazzi una serie di domande:

 come si crea una sommiramide?

in realtà le incognite sono sei, cioè i valori delle caselle che sono

alla base, le condizioni consistono semplicemente nel mettere delle

cifre nelle caselle (alla base e non),

 allora basterebbe mettere sei valori?

no!! Innanzitutto anche se il sistema è univocamente determinato in



 abbiamo visto che non è detto che lo sia in

34  allora invece di partire da una piramide vuota e mettere qualche

valore qua e là partiamo da una piramide già completa e scegliamo

di mostrare soltanto qualche valore?

 va già meglio ma anche qui si possono creare dei problemi, come

nei casi seguenti, in cui si parte dalla sommiramide dell’esercizio

precedente e si sceglie di “rendere noti” solo alcuni valori, ad

esempio consideriamo la seguente disposizione

Ho distribuito dunque loro un foglio con nuovo problema, all’apparenza

identico alla sommiramide iniziale 61

25 17

6 4

5

ed ho chiesto loro di risolverlo lavorando in gruppi.

Quasi subito i ragazzi hanno incontrato delle difficoltà in quanto il

problema non era univocamente determinato. A questo punto ho

formalizzato la situazione tramite le slide (allegato Lezione 3), infatti

usando il metodo della prima lezione si ha

c

+114

61

c+53

25 c+28 d+26

a+b 17

c+11 d+9

+6

a+2 6 4

c+5 d+5

a b c 5 d e 35

il cui corrispondente sistema è

 

 b c 6

  

d e 4

   

c d 10 17



    

a b c 17 25

   

 c d 54 61

che riordinato diventa

 

 b c 6

  

d e 4

  

c d 7



   

a b c 8

  

 c d 7

Si vede subito che ci sono due equazioni identiche, i ragazzi hanno fatto

molti interventi a questo punto della lezione dichiarando il sistema come

indeterminato: ci sono infinite soluzioni e possiamo risolverlo tramite

l’inserimento di un parametro, infatti ponendo c=k si ha a=2, b=6-k, c=k,

d=7-k, e=k-3. 

Ho fatto però notare loro che il sistema ha infinite soluzioni in ma il

gioco fa riferimento a numeri naturali, allora quante saranno le soluzioni?

Bisogna imporre che in ogni casella ci sia un numero naturale cioè

 

 6 k 0

 

k 0



 



  k

7 k 0 con



  

k 3 0



da cui si ottengono quattro diverse soluzioni per k = 3; 4; 5; 6.

36 Ma, alla luce di tutto ciò, sappiamo creare una sommiramide impossibile?

Di fronte a questa domanda i ragazzi sono stati molto veloci nel

rispondere trovando la soluzione nel creare un sistema impossibile e

procedere a ritroso. Sempre tramite le slide ho mostrato loro come in

realtà per fare ciò bastasse cambiare una cifra nel sistema risolutivo

passando  



  b c 6

 b c 6 

  

  d e 4

d e 4 

  

  c d 7



c d 7



da a 

   

   a b c 8

a b c 8 

  



 

 c d 8

c d 7

si vede subito che usando il metodo di riduzione tra la terza e la quinta

riga si ha 0 = -1 e dunque il sistema è impossibile; per ottenere questo

sistema basta mettere 62 al posto di 61 nella sommiramide.

Una sommiramide, così come un sistema, può essere dunque

determinata, indeterminata o impossibile ma potrei accorgemene solo alla

fine, dopo svariati calcoli; non c’è un modo per capirlo prima? Esiste un

metodo per capire la natura di un sistema senza andare a risolverlo?

Da qui in poi la lezione è passata da dialogata a frontale, effettuata

comunque cercando di stimolare l’attenzione e l’intervento dei ragazzi,

sempre con l’ausilio delle slide (allegato Lezione 4).

Come prima cosa ho introdotto il concetto di rango: data una matrice A

nxm, si chiama sottomatrice di A ogni matrice quadrata ottenuta



p min(m, n)

selezionando p righe e p colonne di A, con .

 

a a ... a

11 12 1n  

a a a

  23 25 26

a a ... a  

  

21 22 2n a a a

 

  33 35 36

... ... ... ...  

a a a

   

53 55 56

a a ... a

 

m1 m2 mn 37

Data una sottomatrice di A pxp, il suo determinante si chiama minore di

ordine p della matrice A.

Si dice rango di una matrice A, r(A), il massimo ordine dei minori non

nulli che si possono estrarre da A.

Ho scelto di dare prima la definizione formale e poi di far capire il concetto

in modo più intuitivo, con esempi e ragionamenti; ritengo molto importante

far lavorare i ragazzi sia in modo intuitivo ed informale sia con

ragionamenti di tipo deduttivo o usando un linguaggio e delle strutture

formali. Gli studenti devono sviluppare l’elasticità mentale per passare da

una forma di ragionamento all’altra, devono intuire una soluzione, legge,

definizione ma devono imparare a formalizzarla usando il linguaggio

specifico.

Proseguendo con la lezione ho proposto ai ragazzi di calcolare il rango

delle matrici corrispondenti ai sistemi delle sommiramidi partendo dalla

prima  

  

a b 6 1 1 0 0 0

 

  

d e 4 0 0 0 1 1

 

  

 

   A

a b c 11 1 1 1 0 0

  

   

2b 3c d 26 0 2 3 1 0

 

  

  

 b 3c 2d 25 0 1 3 2 0

 

Se una matrice A è quadrata il suo rango può essere al massimo il suo

ordine, la prima cosa da fare in questo caso è calcolare det(A): se è

diverso da zero allora il rango è massimo. Nel nostro caso det(A) = -3 e

dunque il rango è 5.

Con analogo ragionamento i ragazzi hanno calcolato il rango di A nel caso

del sistema indeterminato ed impossibile: in entrambi il rango è 4, si

osserva infatti che la matrice dei coefficienti è identica mentre ciò che

varia è la colonna dei termini noti; sempre tramite il dibattito è nata l’idea

38 di affiancare la colonna dei termini noti alla matrice dei coefficienti e

calcolare il rango di questa nuova matrice ottenendo la seguente

situazione

Determinato Indeterminato Impossibile

r(A)=5 r(A)=4 r(A)=4

r(Ab)=5 r(Ab)=4 r(Ab)=5

Guidati da me, ragionando sul numero delle incognite e sui risultati

ottenuti i ragazzi sono praticamente arrivati ad una formulazione del

teorema di Rouché-Capelli nel caso specifico in analisi.

Il passo successivo è stato quello di passare da una intuizione ad una

formalizzazione generalizzando il teorema fino ad arrivare alla sua

formulazione generale:

Dato un sistema di n equazioni in m incognite

   

 a x a x ... a x b

11 1 12 2 1m m 1

    

a x a x ... a x b

 21 1 22 2 2m m 2

 ...



    

a x a x ... a x b

 n1 1 n 2 2 nm m n

Se r(A) < r(Ab) il sistema non ammette soluzioni, è impossibile.

Se r(A) = r(Ab) il sistema ammette soluzioni.

In particolare

Se r(A) = r(Ab) = m il sistema è determinato.

Se r(A) = r(Ab) = r < m il sistema è indeterminato



 m r

ed ammette soluzioni, cioè la soluzione dipende da m-r parametri. 39

Con la tutor abbiamo deciso di presentare questo teorema senza

dimostrazione; per far comunque comprendere ai ragazzi la sua veridicità

e avere un’idea di come sia nato il risultato ho deciso di mostrare loro il

processo di triangolarizzazione delle matrici; oltretutto alcuni procedimenti

di base li conoscevano già. Prendendo ad esempio un sistema di 3

equazioni in 3 incognite si ha

  

  

x y z 1 1 1 1 1

  

     

2x y z 2 Ab 2 1 1 2

  

  

    

x z 0 1 0 1 0

  

triangola rizzando la matrice Ab si ottiene

   

1 1 1 1 1 1 1 1

   

  

Ab 2 1 1 2 0 3 1 0

   

   

  

1 0 1 0 0 0 1 3

   

dopo aver osservato che in una matrice triangolare il determinante

coincide con il prodotto dei valori sulla diagonale principale si deduce che

il rango di una tale matrice è il numero di righe non nulle; ora il teorema di