Esame di stato 2003 del liceo scientifico: Analisi delle soluzioni e considerazioni

QUESTIONARIO

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I punti, in cui il questionario è articolato, permettono allo studente di utilizzare diverse conoscenze

acquisite negli ultimi anni.

I quesiti 1 e 2 sono incentrati sulla geometria nello spazio,

I quesiti 3 (trignometria), 10 (logaritmi) e 8 (scomposizioni) vengono generalmente trattatti negli anni

precedenti mentre i quesiti 4, 5 (funzioni), 6 (integrali , derivate) e 7(successioni) di norma vengono

trattati nell’ultimo anno .

I quesiti presentano difficoltà disomogenee pertanto risultano difficili da valutare: in particolare basta

confrontare i quesiti 1 e 7.

Quesito 1

Dopo aver fornito la definizione di “rette sghembe”, si consideri la seguente proposizione:

«Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono

sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe». Dire se è

vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

Soluzione

Due rette si dicono sghembe se non sono complanari, cioè se non appartengono a uno stesso

piano.

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La proprietà transitiva «Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due

distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z

sono sghembe» , è falsa. Infatti, se prendiamo le rette x, y e z come in figura, le rette x e y

sono sghembe; anche le rette y e z sono sghembe ma x e z non sono sghembe perché

sono incidenti e quindi giacciono sullo stesso piano xz.

Quesito 2

Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le

caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla

piramide.

Soluzione ,

Si possono verificare i seguenti casi:

1. se il piano è parallelo alla base, il quadrilatero sezione è un quadrato (vedi figura);

2. se il piano è parallelo ad un lato del quadrato di base, si ottiene un trapezio, infatti il

quadrilatero sezione ha due lati paralleli e due no;

3. se il piano è parallelo ad una diagonale del quadrato di base, si ottiene un romboide, infatti il

quadrilatero sezione ha le diagonali perpendicolari;

4. negli altri casi, il quadrilatero sezione è sempre convesso.

Quesito 3

Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può

accedere in alcun modo, così da impedire una misura diretta della distanza AB. Dal punto A

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si può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pur

rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la

distanza AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e sapendo che P non è

allineato con A e B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la

distanza AB.

Soluzione

Dal punto A si vedono i punti P e B e dal punto P si vedono A e B, quindi si possono misurare gli

α γ

angoli e corrispondenti ai vertici A e P del triangolo APB (vedi figura); conseguentemente si può

β=180°-(α+β).

ricavare la misura del terzo angolo: P

Poiché la distanza AP è misurabile, γ

possiamo applicare il teorema dei seni al triangolo APB :

γ

⋅

AP AB AP sen

= ⇒ =

AB

β γ β

sen sen sen α β

quindi B

A

γ

⋅

AP sen

=

AB α β

 

− +

0

sen 180 ( )

 

Quesito 4 { }

+ − −

f(x) = ln x 1 (x 1) è l’insieme degli x reali tali che:

Il dominio della funzione

A) -1<x≤3; B) -1≤x<3; C) 0<x≤3; D) 0≤x<3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta

effettuata.

Soluzione  

= + − −

f x x x

( ) ln 1 ( 1) , bisogna porre l’argomento

Per determinare il dominio della funzione  

del logaritmo maggiore di zero e l’argomento della radice maggiore o uguale a zero, cioè si deve

risolvere il seguente sistema di disequazioni:

 + > −

 x x

1 ( 1)

 + ≥

 x 1 0

La soluzione del sistema è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi

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− ≥

 x 1 0

− <

 x 1 0 

∪

  ( ) 2

+ ≥ + ≥ −

x 1 0 x x

1 1

 

 1

− <

 x 1 0

 + ≥

x 1 0

 -1

0 1 3

− ≥

 x 1 0

 ( ) 2

+ ≥ −

x x

1 1

 − ≤ < ≤ <

1 x 1 1 x 3

; il secondo sistema è verificato per .

il primo sistema è verificato per − ≤ <

1 x 3 : la risposta corretta è la B).

Quindi il dominio della funzione è

Quesito 5 3 2

-3x +2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola

La funzione 2x

volta l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo

zero della funzione è positivo o negativo.

Soluzione = − +

3 2

f x x x

( ) 2 3 2

La funzione è una cubica, per cui può avere al massimo tre zeri, cioè tre

intersezioni con l’asse delle ascisse. Chiaramente la funzione è ovunque definita e continua e si ha:

( )

( ) lim − + = −∞

lim − + = +∞ 3 2

3 2 2 x 3 x 2

2 x 3 x 2 →−∞

→+∞ x

x = −

2

f x x x

'( ) 6 6 , si annulla per x=0 e per x=1.

La derivata prima della funzione è

Dallo studio del segno della derivata prima si deduce che la funzione presenta un massimo nel punto

M(0;2) e un minimo nel punto N(1;1)

Siccome il valore massimo e quello minimo hanno lo stesso segno, la funzione ha un solo zero reale,

poiché il valore del massimo è positivo, la funzione interseca l’asse x prima del massimo, quindi per

x<0.

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Quesito 6 2

x

∫ 2

− 4

t −

e dt x

2 x e

è la funzione f ’(x) = . Eseguire tutti i

La derivata della funzione f(x) = 0

passaggi necessari a giustificare l’affermazione.

Soluzione 2

x y

∫ 2 [ ]

−

= t ∫

f ( x ) e dt 2

−

= t

f y ( x ) e dt

è una funzione composta del tipo in cui

La funzione 0 0

[ ]

= = = ⋅

2

y x f '( x ) f ' y ( x ) f '( y ) y '( x )

. Tenendo conto della derivazione delle funzioni composte, ,

si ha: 2

−

= ⋅

y

f '( x ) e y '( x )

ma y ’= 2x sostituendo si ha:

4

−

= ⋅

x

f '( x ) e 2 x

Quesito 7

Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1: 1, 2, 3, … , n-1, n ,

moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti

risulta uguale a: ( )

( )

1 1 1

1

( ) ( )( )( ) ( )

2

2 2

2

+ + + + − +

; B) ; C) ; D) .

A) −

n n 1 n n 1 n 2 3

n 1 n n 1 3

n 2

n n 1

4 24 24

3

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Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta

operata.

Soluzione

Se si intende che vanno escluse le coppie di numeri ripetuti, per esempio 1x1, 2x2, ecc., la risposta

corretta è la D. Infatti, si possono scartare subito le soluzioni A,B,C che non sono soddisfatte già per n

= 2 oppure n=3.

Vediamo il caso n=3.

1x2+1x3+2x3=11. La proposta A dà 36. La proposta B dà 8. La proposta C dà 35/2. La proposta D dà

11.

Una dimostrazione può essere la seguente.  

2 2

   

n n n n

1

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

= + ⋅ ⇒ = −

2 2

 

2

i i ij ij i i

   

2

   

 

 

= = ≠ ≠ = =

1 1 1 1

i i i j i j i i

+

n n ( n 1)

∑ =

i ,

E’ noto che la somma dei primi n numeri è 2

=

i 1 n 1

∑ = + +

2 ( 1)(2 1)

i n n n

mentre la somma dei primi n numeri al quadrato è 6

=

i 1

Quindi di ha ( )

 

  2

2 +

2

  n n 1

n n

1 1 1 1

∑ ∑ ∑

= − = − + + = + +

2 2

 

 

ij i i n ( n 1)(2 n 1) n ( n 1)(3

n 2)

 

2 2 4 6 24

   

 

   

≠ = =

1 1

i j i i

Quesito 8 3 3

– y :

x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x – y = 2. Il numero x

A. è divisibile per 2 e per 3.

B. è divisibile per 2 ma non per 3.

C. è divisibile per 3 ma non per 2.

D. non è divisibile né per 2 né per 3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta

operata.

Soluzione ( )

− = − + +

3 3 2 2

x y ( x y ) x xy y e che x-y=2 si ha

Tenendo conto che

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( )

− = + +

3 3 2 2

x y 2 x xy y −

3 3

x y

Quindi il numero richiesto è divisibile per 2, di conseguenza si possono scartare le risposte C)

e D). + +

2 2

x xy y

Verifichiamo che non è divisibile