Analisi probabilistica di giochi

P

eventi possibili (attenzione! Elementari e non) sono elementi dell’insieme delle parti di , ( )

Ω

(l’insieme che ha per elementi i sottoinsiemi di ). Ω

Dunque un ruolo importante avranno i sottoinsiemi di : vediamo come certi sottoinsiemi abbiano

specifici significati dal punto di vista degli eventi (con la loro rappresentazione grafica attraverso i

diagrammi di Eulero-Venn): ω

• Ω ∈ Ω

evento certo (sicuramente si verifica uno degli eventi ).

• ∅ φ

evento impossibile

(vuoto) (non si verifica nessun elemento di !).

ω

• ⊆ Ω ∈

A ”si verifica A” (cioè A).

• c

A (complementare da A) “non si verifica A”.

• ∩

A B “si verifica A o B (o entrambi)”.

• ∪

A B “si verificano A e B” (simultaneamente).

• ∩ ∅

Se A B= allora “A e B sono incompatibili” (non possono verificarsi contemporaneamente).

• ⊆

Se B A allora “B implica A” (se si verifica B, si verifica anche A). ∩ ∪ c

Prima di passare alla probabilità degli eventi è utile richiamare le proprietà delle operazioni ( , , )

sugli insiemi.

Proposizione Ω

Se A, B, C sono sottoinsiemi di , allora:

• ∩∅ ∅ ∪∅

A = A = A

• ∩Ω ∪Ω Ω

A = A A =

• ∩ ∅ ∪ Ω

c c

A A = A A =

• c c

(A ) =A

• ∩ ∪

A A=A A A=A prop. di idempotenza

• ∩ ∩ ∪ ∪

A B=B A A B=B A prop. commutativa

• ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∪

A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C prop. associativa

• ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪

A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) prop. distributiva

• ∩ ∪ ∪ ∩

A (A B)=A A (A B)=A prop. assorbimento

• ∩ ∪ ∪ ∩

c c c c c c

(A B) = A B (A B) = A B leggi di De Morgan

Probabilità di eventi

probabilità

La di un evento è un numero reale dell’intervallo [0,1], che esprime, misura, quanto

riteniamo probabile il verificarsi di quell’evento. Ad esempio, se lanciamo una moneta, stimiamo

che la probabilità che esca testa sia 0.5 = 1/2 (nel linguaggio comune si usa dirlo in percentuale: “la

⋅ p%).

probabilità del 50%”, cioè probabilità p = probabilità 100

calcolo delle probabilità

Il è la branca della matematica che ci dice come si calcolano le

probabilità di eventi “complessi” (nel caso discreto si tratta degli eventi in generale), conoscendo

già la probabilità di altri eventi “più semplici” (nel caso, discreto, spesso gli eventi elementari).

Ci sono due questioni:

1. come conoscere le probabilità degli eventi “più semplici”?

con quali regole si passa dalla probabilità di alcuni eventi a quella di altri? Che proprietà deve

2. avere cioè la probabilità che assegno agli eventi?

Vediamo prima di rispondere alla seconda domanda. Facciamo alcune considerazioni: 18

• Ω Ω

la probabilità di deve essere pari a 1, cioè P( ) = 1;

• ∅ ∅

la probabilità dell’insieme vuoto, , deve essere zero, cioè P( ) = 0;

• −

c c

se conosciamo la probabilità di A, P(A), possiamo ricavare quella di A : P(A ) = 1 P(A);

• ∩ ∅ ∪

se A e B sono disgiunti, A B= , conoscendo P(A) e P(B), ricaviamo P(A B) = P(A) + P(B);

• e così possiamo andare avanti …

Il matematico russo Kolmogorov studiò negli anni ’30 le proprietà delle probabilità, scoprendo che

5

da pochi assiomi si potevano ricavare tutte le altre proprietà. Questi assiomi vennero scelti per

definire le probabilità, nel senso che ogni funzione che abbia le proprietà enunciate dagli assiomi

viene detta probabilità (che poi serve per misurare la probabilità di eventi in casi concreti, è un altro

problema!)

Definizione assiomatica di probabilità

( )

Ω Ω

probabilità su

Sia uno spazio campionario discreto. Si chiama una qualsiasi funzione P:

Ω →

P ( ) [0,1] , con le seguenti proprietà:

Ω

(i) P( ) = 1; ∩ ∅ ≠

(ii) se {A } è una successione di eventi a due a due disgiunti (cioè A A = con i j) allora

n n∈ℵ i j

∞ ∞

  ( )

∑

=

∪

P A P A (addittività numerabile).

 

n n

  =

= 1

n

1

n

Ω spazio di probabilità discreto

La coppia ( , P) si chiama ( ).

Attenzione!

• funzione

La probabilità è una .

• insiemi

Gli eventi sono e se ne può fare unione, intersezione, complementare, …

• numero reale

La probabilità di un evento è un (fra 0 e 1), dunque le probabilità di eventi si

possono sommare, sottrarre, …

Proposizione proprietà delle probabilità

( )

Ω

Sia P una probabilità su . Allora:

∅

(i) P( )=0; −

c

(ii) P(A ) = 1 P(A); ∩ ∅ ≠

(iii) se A , …, A sono eventi a due a due disgiunti (cioè A A = con i j), allora

1 n i j

( ) ( ) ( ) ( )

= + + +

∪ ∪…∪ …

P A A A P A P A P A (addittività finita);

1 2 1 2

n n

( ) ( ) ( ) ( )

= + −

∪ ∩

P A B P A P B P A B

(iv) qualsiasi siano A e B.

Esercizio

Supponiamo che un consumatore, entrato in un supermercato, abbia:

• probabilità pari a 0.7 di acquistare il prodotto a;

• probabilità pari a 0.2 di non acquistare il prodotto b;

• probabilità pari a 0.1 di non acquistare né il prodotto a né il prodotto b.

Qual è la probabilità che acquisti sia a che b?

Risposta

Sia A l’evento {acquista a}, B l’evento {acquista b}.

∪ ∪

c c c

Allora P(A)=0.7, P(B )=0.2, P(A B )=0.1, e chiediamo P(A B)=?

5 Gli assiomi della matematica sono proprietà che non si dimostrano, ma si assumono vere, da essi si fanno discendere

tutte le altre tramite dimostrazioni (esempio assiomi della geometria euclidea). 19

∪ ∩ ∩ − ∪ − −

c c c c c c c c c

Poiché A B=(A B ) e P(A B )=P(A )+P(B ) P(A B )=1 P(A)+0.2 0.1=0.3+0.1=0.4

∪ − ∩

c c

B)=1 P(A B )=0.6.

Allora P(A

Osservazione

Ω

Se è discreto, basta conoscere la probabilità degli eventi elementari per essere in grado di

calcolare la probabilità di qualsiasi evento.

{ } { }

ω ω

Ω =

Ω Ω = ⊆ Ω

n

Infatti, se è discreto si può scrivere (nel caso finito ) e se A , allora

∈ =

k k

ℕ

k k 1

  ( )

( ) { } { }

∑

ω ω

= =

∪

 

P A P P .

 

k k

  ω

ω ∈

∈ A

A k

k

( )

{ }

ω = = …

P p k 1, 2,

Perciò basta conoscere , cioè le probabilità degli eventi elementari.

k k

Come assegnare le probabilità

Abbiamo visto come si possono ricavare probabilità di eventi “più complicati” dalla conoscenza

della probabilità di eventi “semplici”.

Adesso torniamo alla questione del come vanno attribuite le probabilità degli eventi “semplici”.

Ribadiamo che la scelta di queste probabilità dovrà soddisfare le proprietà matematiche che

abbiamo visto, ma è un qualcosa che esula dalla matematica, coinvolgendo piuttosto le nostre

valutazioni.

Ad esempio, se lancio un dado, siccome noi riteniamo a priori che ogni faccia abbia la stessa

probabilità di uscire, allora attribuiamo probabilità pari a 1/6 all’uscita di un 6. Se però lanciassimo

un dado 1000 volte e il 6 comparisse 250 volte, saremmo portati a pensare che il dado non è ben

bilanciato e la probabilità che esca 6 è (vicina a) 1/4.

Queste due idee appena descritte (considerazioni di equiprobabilità oppure calcolo di una

frequenza) sono alla base di due approcci: la definizione classica di probabilità e la definizione

frequentista.

Definizione classica

( )

Se si ha che:

Ω Ω ω

(i) finito: = {ω , …, };

1 n

(ii) valutiamo che tutti gli eventi elementari {ω }, …, {ω } hanno la stessa probabilità;

1 n

allora ( ) 1

{ }

ω

• = ∀ = …

P i 1, , n ;

i n A

1

( )

• = ⋅ = 6

P A A ;

Ω

n n° casi favorevoli

=

dunque probabilità .

n° casi possibili

Attenzione!

Bisogna stare molto attenti all’ipotesi di equiprobabilità, infatti non sempre è vero che tutti gli

eventi elementari hanno la stessa probabilità.

Ad esempio, lanciando due dadi: qual è la probabilità che la somma dia 7?

La somma è un numero fra 2 e 12 (undici numeri in tutto), ma ad esempio 2 è meno probabile di 7,

poiché 2 esce solo se entrambi i dadi danno 1, mentre 7 esce come 1+6, 2+5, 3+4, … . E’ utile

Ω

osservare che se scegliamo = {coppie (i, j) con i e j interi fra 1 e 6} (ogni coppia rappresenta un

lancio, ad esempio (2,3) significa che il primo dado ha dato 2 mentre il secondo ha dato 3), allora

Ω.

6 Dove | A | è il numero degli elementi di A e |Ω | è il numero degli elementi di 20

gli eventi elementari sono equiprobabili. Quindi |Ω| = n° coppie = 6×6 = 36. I casi che danno

somma 7 sono: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), in tutto 6 (e non 1/11 come ci si sarebbe

aspettati dall’equiprobabilità).

Osservazioni

• Definizione a carattere tautologico! Limitata a numero finito di casi possibili, anche se

estendibile con passaggi al limite.

• Regola utile per calcolare probabilità in certe situazioni in cui ci sia un numero finito di

alternative, che possono essere considerate, ad es. per motivi di simmetria, ugualmente

probabili.

• Definizione operativa che implica alcune regole per elaborazione matematica della

probabilità.

• Tipico campo di applicazione della definizione classica: giochi di dadi, carte, ecc. (se si può

assumere che non ci sia trucco!)

Esercizio

Calcolare la probabilità che la somma dei due dadi sia 2 oppure 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12.

Definizione frequentista

( )

Dalla