Cardinalità e numeri transfiniti

Cardinalità di un insieme e numeri transfiniti.

Introduzione.

Una retta orientata è un’immagine geometrica dell’insieme dei numeri reali. Fissate l’origine e l’unità di misura, è

possibile istituire una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta. Percorrendo la retta orientata, a

partire dall’origine e nel verso positivo, si incontrano a intervalli regolari i punti corrispondenti ai numeri naturali;

muovendosi nel verso opposto, si possono individuare i punti corrispondenti agli interi. Tra un intero e l’altro si trovano

infiniti punti corrispondenti ai numeri razionali, che tuttavia non occupano con continuità tutti i punti della retta: vi sono

anche infiniti punti corrispondenti ai numeri irrazionali.

Ingenuamente siamo portati a ritenere che i numeri interi siano più numerosi (il doppio, meno uno) dei numeri naturali,

e che i numeri razionali siano molto più numerosi dei numeri interi (quanto più numerosi?). I numeri irrazionali, infine

sono più numerosi dei razionali, meno numerosi dei razionali, o tanto numerosi quanto i razionali?

Il concetto di potenza di un insieme.

La constatazione che “il tutto è maggiore della parte” fu considerata da Euclide come un postulato e ritenuta valida per

secoli. Tuttavia quando si ha a che fare con l’infinito anche le affermazioni più ovvie possono perdere la loro evidenza.

Galilei, agli inizi del XVII secolo, aveva osservato che i numeri naturali “quadrati” si possono porre in corrispondenza

biunivoca con i numeri naturali medesimi: n 1 2 3 4 5 …

2 1 4 9 16 25 …

n

da questo punto di vista i numeri naturali appaiono tanto numerosi quanto i numeri naturali “quadrati”, che, d’altra parte

sono un sottoinsieme dei numeri naturali.

È possibile confrontare gli infiniti?

Dobbiamo la risposta a Georg Cantor (1845-1918). Alla base dello studio di Cantor è il concetto di potenza di un

insieme. Due insiemi hanno la stessa potenza, ovvero sono equipotenti, se tra i loro elementi è possibile stabilire

una corrispondenza biunivoca.

La relazione di equipotenza tra insiemi gode della proprietà riflessiva (ogni insieme è equipotente a se stesso), della

proprietà simmetrica (se l’insieme A è equipotente all’insieme B, anche l’insieme B è equipotente all’insieme A), della

proprietà transitiva (se l’insieme A è equipotente all’insieme B, e l’insieme B è equipotente all’insieme C, allora

l’insieme A è equipotente all’insieme C).

La relazione di equipotenza tra insiemi è pertanto una relazione di equivalenza: in ciascuna delle classi di

equivalenza si trovano tutti gli insiemi tra loro equipotenti. Per esempio:

- l’insieme vuoto sta nella stessa classe di equivalenza dell’insieme dei punti di intersezione di due rette

parallele, dell’insieme dei triangoli che hanno due angoli retti e così via;

- l’insieme degli occhi di un uomo sta nella stessa classe di equivalenza dell’insieme degli stati di una lampadina

(accesa/spenta), dell’insieme delle mani di un uomo e così via;

- l’insieme dei punti cardinali sta nella stessa classe di equivalenza dell’insieme delle zampe di un cavallo,

dell’insieme dei vertici di un quadrilatero e così via.

Cardinalità di un insieme e numeri transfiniti.

Si dice che due insiemi equipotenti hanno la stessa cardinalità. La cardinalità di un insieme A è indicata con il

A .

simbolo { } { }

= =

A Nord , Sud , Est ; Ovest B a , b

, c , d

Per esempio, gli insiemi e hanno la stessa cardinalità.

Se due insiemi A e B non hanno la stessa cardinalità può verificarsi una sola delle seguenti situazioni: <

A B

- A può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di B: allora ;

>

A B

- B può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di A: allora .

Il termine cardinalità è introdotto con evidente riferimento ai numeri cardinali, ovvero all’elenco dei numeri naturali

mediante il quale si dà luogo all’attività del contare: zero, uno ,due, tre, e così via.

La cardinalità di un insieme finito è espressa mediante un numero naturale: per esempio, la cardinalità degli insiemi A e

B introdotti precedentemente è 4. ℕ

Il concetto di cardinalità riguarda anche gli insiemi infiniti. Per esempio l’insieme e l’insieme dei quadrati dei

numeri naturali hanno la stessa cardinalità, perché tra i loro elementi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca.

Tale cardinalità non può essere espressa mediante un numero naturale.

Cantor introduce il concetto di numero transfinito per poter esprimere la numerosità degli insiemi infiniti: infatti è

possibile dimostrare che esistono diversi gradi di infinito.

I numeri transfiniti non possono essere rappresentati mediante le cifre e i simboli utilizzati per rappresentare i numeri

finiti. Cantor introduce il simbolo (aleph) della prima lettera dell’alfabeto ebraico, munito di un pedice che indichi un

א

particolare grado di infinito. I diversi e crescenti gradi di infinito sono indicati mediante (aleph-zero), (aleph-uno),

א א

0 1

(aleph-due), e così via.

א 2

Gli insiemi numerabili. ℕ

Un insieme si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri

naturali.

Esempio: l’insieme dei quadrati dei numeri naturali è numerabile: la corrispondenza biunivoca è descritta da Galilei.

Esempio: l’insieme dei numeri naturali pari è numerabile: è semplice costruire la corrispondenza biunivoca opportuna:

n 0 1 2 3 4 …

p 0 2 4 6 8 …

ℤ dei numeri interi è numerabile.

L’insieme

Un modo per stabilire la corrispondenza biunivoca è il seguente:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …

−1 +1 −2 +2 −3 +3 −4 +4 −5 +5 −6 …

k 0

ℚ

L’insieme dei numeri razionali è numerabile.

Cantor dimostrò questa proprietà rappresentando le frazioni in uno schema come il seguente:

0 0 0 0

0 0 0

………….

3 5 6 7

1 2 4

1 1 1 1

1 1 1 ………….

3 5 6 7

1 2 4

2 2 2 2

2 2 2 ………….

3 5 6 7

1 2 4

3 3 3 3

3 3 3 ………….

3 5 6 7

1 2 4

4 4 4 4

4 4 4 ………….

3 5 6 7

1 2 4

5 5 5 5

5 5 5 ………….

3 5 6 7

1 2 4

… … … … … … … ………….

Seguendo le frecce si possono scrivere in successione tutte le frazioni

0 1 2 0 0 1 3

0 0 1 2 1 0 2 3 4 3 1 2 4 5 …

3 3 3 5 6 5 3

1 2 1 1 2 4 2 1 1 2 4 4 2 1

essendo sicuri di non dimenticarne neppure una.

Ora si possono eliminare dall’elenco tutte le frazioni che rappresentano un numero già descritto mediante una frazione

0 2

precedente. Delle frazioni con numeratore 0 si terrà soltanto per rappresentare il numero 0; la frazione sarà

1 2

1

eliminata perché il numero 1 è già rappresentato dalla frazione , e così via. Le frazione rimaste, a eccezione della

1

prima, saranno scritte, come nel caso dei numeri interi, precedute una volta dal segno “meno” e una volta dal segno

“più”. Si giungerà così a costruire la corrispondenza biunivoca

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …

1 1

0 1 1 2 2 1 1 3 3 4 4 3 3

− +

− + − + − + − + − + − +

q …

3 3

1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

tra l’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali.

ℤ ℕ

ℚ

L’insieme e l’insieme hanno la stessa cardinalità dell’insieme ; la cardinalità di questi insiemi è espressa

mediante il numero transfinito , detto anche potenza del numerabile.

א 0

Insiemi non numerabili.

ℝ

L’insieme dei numeri reali non è numerabile.

Seguiamo la dimostrazione per assurdo data da Cantor.

Se l’insieme dei numeri reali fosse numerabile, sarebbe possibile elencarne tutti gli elementi con un metodo simile a

quello utilizzato per elencare tutti numeri razionali. Ammettiamo dunque di essere in possesso dell’elenco e mostriamo

che è sempre possibile trovare un numero non appartenente all’elenco; ciò implica l’impossibilità di costruire l’elenco e

quindi la non-numerabilità dell’insieme dei numeri reali.

Scriviamo ora i primi numeri dell’elenco.

P a a a a

, .........

1° numero 1 1 2 3 4

P b b b b

, .........

2° numero 2 1 2 3 4

P c c c c

, .........

3° numero 3 1 2 3 4

……………………………………..

P a b c

, ,

indica la parte intera dell’i-esimo numero dell’elenco; sono le rispettive i-esime cifre decimali.

i i i i

Costruiamo ora un numero nel modo seguente: P , abcd ..........

P è un numero intero qualsiasi; a è una cifra diversa da a , ossia dalla prima cifra decimale del primo numero

1

dell’elenco; b è una cifra diversa da b , ossia dalla seconda cifra decimale del secondo numero dell’elenco; c è una cifra

2

diversa da c , ossia dalla terza cifra decimale del terzo numero dell’elenco; e così via.

3

Il numero P , abcd .......... è certamente per costruzione un numero reale; il numero P , abcd .......... è diverso dal primo

numero dell’elenco, perché la sua prima cifra decimale e diversa da a , è diverso dal secondo numero dell’elenco,

1

perché la sua seconda cifra decimale e diversa da b , è diverso dal terzo, dal quarto, da ogni numero dell’elenco. Non

2

c’è alcun numero naturale associabile al numero P , abcd .......... , perché per ipotesi ogni numero naturale è già associato

a un numero dell’elenco. ℝ

È necessario concludere che l’insieme dei numeri reali non è numerabile.

ℝ ℝ

non ha la potenza del numerabile: qual è la potenza di ? Quanti sono i numeri reali? Sono “più infiniti”

L’insieme

dei numeri naturali, ma “quanto più infiniti”?