Sulle medie di due e di n numeri

Si sono così costruiti i vari medi di a b

catena di disuguaglianze:

≠ < < < <

DE AL ' CD OD CQ EF , cioè il medio armonico è

diverso (minore, come si ha dalla fig.1, o maggiore, costruendo altra

>1, prossimo al valore 1, ferma

figura analoga nella quale si prenda a

) del medio logaritmico, che è minore del

restando la somma a+b

medio geometrico, che è minore del medio aritmetico, che è minore

del medio quadratico, che infine è minore del medio antiarmonico. Il

= comporterà una semplificazione della fig.1, per

caso particolare a b

cui si avranno tutti i medi identici.

Rimanendo sempre in tema di aspetti geometrici, si conclude

affermando che i medi delle dimensioni di un rettangolo sono dati:

per l’ARMONICO, dal rapporto tra il doppio della superficie di

questo e il suo semiperimetro;

per il LOGARITMICO, dall’antilogaritmo del lato del quadrato

equivalente al rettangolo le cui dimensioni sono i logaritmi di quelle

del primo rettangolo;

per il GEOMETRICO, dal lato del quadrato ad esso equivalente;

per l’ARITMETICO, dal raggio del cerchio il cui diametro è

congruente al suo semiperimetro;

per il QUADRATICO, dal lato del quadrato che ha in comune la sua

diagonale;

per l’ANTIARMONICO, dal rapporto tra il quadrato della diagonale

e il suo semiperimetro. 5

2. Sulle medie di n numeri.

Ora, tenendo presenti le sei formule dei medi di due numeri sopra

riportate, si possono scrivere altrettante formule delle medie di n

>

x ,x ,x ,... ,x , n 2

numeri che generalmente, per , possono non

1 2 3 n x

essere in progressione, infatti se si indicano con , seguito

dall’aggettivo relativo alla progressione da cui proviene il medio

corrispondente, si hanno:

n

∑

x( n / 1/ x ; (7)

armonica) = i

= 1

i  

n

∏

 

1 / n

=

logaritmica ; (8)

( )

x exp ( ln x )

 

i

 

=

i 1

n

∏

( ) = 1n

x ( x ) ; (9)

geometrica i

= 1

i

n

∑

=

x(aritmetica) x / n ; (10)

i

=

i 1 n

∑

( )

= ± ± 1/ r

r

x(potenziata) x / n , (11)

i

=

i 1 n

∑

= ± r

A x / n si ha

per la quale ponendo i

=

i 1

{

= ≥ − <

r

x 1 x 0, 1 x 0

segno se se

i i i

( ) {

1/ r = ≥ − <

A 1 A 0, 1 A 0

e segno se se ;

= − − =

x(antiarmonica) c c x(armonica) (12)

n

∑

− −

c n 1 (c x ) .

i

=

i 1 +

∀ ∈

x R con l’ulteriore

Per la (8) e la (9) è richiesta la condizione i

∀ > ∀ ∈

x 1 x R

condizione per quest’ultima e per tutte le altre .

i i

( )

x

Nella (8) è introdotta la media logaritmica di un insieme di

n

∀ >

x , x ,..., x x 1

numeri , data dall’antilogaritmo della media

1 2 n i

geometrica dei logaritmi dei numeri stessi.

6

( ) −

∀ ∈

x R

Nella (11) è introdotta la media potenziata anche x .

i

( )

x

Nella (12)è introdotta la media antiarmonica ,che dipende dal

n

∑

= x , x ,..., x

c x , di un insieme di numeri ,

parametro n 1 2 n

i

= 1

i ( )

∀ ∈ −

x R, c x

data dal complemento a della media armonica

c

i − − −

(c x ),(c x ),...,(c x

dei numeri ).

1 2 n

3. Disuguaglianze tra le medie. +

∈

x R

Inoltre, si osserva che, per , l’ordine col quale sono state

i

x

riportate le varie medie è generalmente quello crescente dei valori

delle singole medie, che si manifesta in alcuni casi, fatta eccezione:

per le medie logaritmiche, quando non sono rispettate le condizioni

 

1 / n

 

n n

∑

∏

∀ > < +

 

 

x 1 e sufficiente ,

necessaria n exp ln x ln 1 x

 

i i i

 

 

 

=

= 1

i

1

i x siano

a volte generalmente quando uno o più valori degli i

< <

1 x 2 , con gli altri rimanenti necessariamente non numerosi

i x x

distribuiti nell’intervallo da 2 al max( ) e non prossimi al max( ),

i i

se quest’ultimo valore sia molto diverso dagli altri, nei quali casi si ha

>

x( ) x( ) ;per le medie potenziate di ordine

armonica logaritmica

≥ ≤ <

r 4 2 r 4 x

o anche per , se il max( ) non sia molto diverso

i

x

anche da uno solo degli altri valori , in questo caso, sempre per

i

n

∑

=

c x e se non è rispettata la condizione sufficiente

i

=

i 1

   

n n ( )

∑ ∑

> − −

 

r 1 , si avrà

n x c n c x

 

i i

   

= =

i 1 i 1

( ) ( )

<

x x .

antiarmonica potenziata Quest’ultima disuguaglianza, in

< =

x x y x x

particolare, è soddisfatta nei casi di =2, con e ,

n 1 2 2 1

e minori

per le seguenti coppie sperimentali di valori uguali ad r

7

= < = <

(r 4 , y 3.5 ),(r 5 , y 5.26 ),

approssimati di , cioè per:

y

= < = < = <

(r 6,y 6.84),(r 7,y 8.34),(r 8, y 9.83), ecc..

numeri, si riporta, senza

Prima che si dia una dimostrazione per n

dare la dimostrazione per brevità di spazio, la relazione di

disuguaglianze tra le medie considerate per =2 numeri positivi: la

n

= +

c x x

media antiarmonica con parametro , è maggiore della

1 2

=3, la quale a sua volta è

media cubica o potenziata di ordine r

maggiore della media quadratica, la quale a sua volta è maggiore

della media aritmetica, la quale a sua volta è maggiore della media

geometrica, la quale a sua volta è maggiore della media logaritmica,

la quale infine è diversa della media armonica, ossia

( ) ( ) ( ) ( )

> > > >

x x x x

antiarmonica cubica quadratica aritm.

( ) ( ) ( )

> > ≠

x x x

geometrica logaritmica armonica . (13)

La (13) rispecchia, con l’aggiunta della media potenziata di ordine 3,

la disuguaglianza già riportata nella descrizione della costruzione dei

medi di due segmenti della fig.1 del paragrafo 1. Le medie della (13)

x x

nel caso i due numeri siano identici.

saranno tutte uguali a i i

Ora, si dimostra la relazione di disuguaglianze tra le stesse medie, in

x

numeri , considerando per la media antiarmonica il

generale per n i

n

∑

=

c x , ossia

parametro i

= 1

i

( ) ( )

( )

≠ > >

x x r x

antiarmonica potenziata, aritm. (14)

( ) ( ) ( )

> > ≠

x x x

geometrica logaritmica armonica .

x x

Esse saranno tutte uguali a nel caso gli numeri siano tutti

n

i i

identici. ∀ >

x 1 e sufficiente

Alle condizioni necessaria i

[

n

∑ ∑ ]

r

> − −

r

n ( x ) c n 1 (c x ) , la quale diviene

i i

i

=

i 1 n

∑ ∑

[ ]

r

− − > r

c n 1 (c x ) x / n , si ha successivamente

i i

i =

i 1

n

∑ ∑

− − > 1r

r

c n 1 (c x ) ( x / n ) , cioè

i i

i =

i 1 8

( ) ( )

− − >

c c x x r

armonica potenziata, , ossia

( ) ( )

>

x x

antiarmonica potenziata,r , la quale diventa

( ) ( )

<

x x

antiarmonica potenziata,r , qualora si imponga la

condizione sufficiente contraria.

x

numeri si soprassiede nelle già note dimostrazioni

Anche per n i

delle disuguaglianze

( ) ( ) ( )

> >

x r x x

potenziata, aritmetica geometrica .

∀ >

x 1

Nell’ipotesi, , dalla nota disuguaglianza

i n n

∑ ∏

( ) ( )

> > 1n

y y y / n ( y )

aritmetica geometrica , cioè ,

i i

= =

1 1

i i

=

y ln x

ponendo , si ha successivamente

i i

n n n n

∑ ∏ ∏ ∏

> >

1n 1 n 1 n

ln x / n ( ln x ) ln( x ) ( ln x )

, ,

i i i i

= = = =

i i i i

1 1 1 1

n n

∏ ∏

>

1n 1 n

( x ) anti ln( ln x ) , ossia

i i

= =

i i

1 1

( ) ( )

>

x x

geometrica logaritmica c.v.d..

∀ >

x 1

Infine, alle condizioni necessaria e sufficiente

i

[ ∏ ∑ ]

< +

1n

n ( ln x ) ln 1 x

exp , che diviene

i i

i i

[ ∏ ∑

]

< ⋅

1n

n ( ln x ) ln 1 x )

exp exp ( , si ha successivamente

i i

i i

[ ∏ ∑ ]

< +

1n

ln n ( ln x ) ln 1 x ,

i i

i

i

∑ ∏

− < 1n

ln n ln 1 x ( ln x ) ,

i i

i

i

∑ ∏

< 1n

n/ 1x anti ln( ln x ) , ossia

i i

i

i

( ) ( )

<

x x

armonica logaritmica , la quale diventa

( ) ( )

>

x x

armonica logaritmica , qualora si imponga la condizione

sufficiente contraria. 9

4. Medie di n numeri in progressione.

Considerando il caso particolare delle medie dei numeri che siano in

progressione si ha il seguente

TEOREMA. Un termine qualunque di una progressione è uguale alla

media omonima di tutti i termini di un tratto qualunque (costituito da

un numero dispari di termini) della progressione, del quale esso sia

2

quello di mezzo che coincide con la mediana .

∈

n Ndispari è il numero dei termini di quel tratto, si

Difatti se, , ove è l’indice del termine di mezzo.

può porre n = 2k+1 k+1

a)Se si è di fronte ad una progressione armonica, la formula

( )

= + ⋅

S 1 a 1 a n 2 che dà la somma dei reciproci dei termini,

rec . n 1 n

( )

= +

1 a 1 a 1 a 2 , diviene

essendo +

k 1 1 n

( )

= ⋅ +

S 1 a 2k 1 , da cui

+

k 1 ( )

( ) ( )

= + = + + + +

1 a S 2k 1 1 a 1 a ... 1 a 2k 1 ;

+ +

k 1 1 2 2k 1

( )

( ) ( )

= + = + + + +

a 2k 1 S 2k 1 1 a 1 a ... 1 a c.v.d.

+ +

k 1 1 2 2k 1

b) Se si è di fronte ad una progressione antiarmonica, ricordando la

relazione fondamentale di questa con l’armonica corrispondente

( ) ( ) ( )

+ = + = = + =

a c a a c a