Frazioni e numeri periodici: Approfondimento e comprensione

Facciamo alcuni esempi:

Sc razionale

[0;1] , [0.1; 0.2] , [0.16 ; 0.17] , [0.166 ; 0.167 ] , ……………..

è una successione che determina 1/6, come si può constatare eseguendo la

divisione, mentre

Sc irrazionale

[1;2] , [1.4; 1.5] , [1.41 ; 1.42] , [1.414 ; 1.415 ] , ……………..

. In tal caso si può usare un algoritmo per il

è una successione che determina 2

calcolo della radice quadrata.

Introduciamo le operazioni aritmetiche e una relazione d'ordine.

∈ S

Se (I ) e (I' )

n n

= [ a , b ] e I' =[a' , b' ]

con I n n n n n n

per ogni n naturale sia J = I + I'

n n n ∈

(J )=(I )+(I' ) J =[a +a' , b +b' ] S

n n n n n n n n

∈

Siano A e B e sia (I ) un rappresentante di A e (I' ) un

S/R n n

)+(I' )) che risulta essere ben data

rappresentante di B, si può definire A+B =((I

n n

perché non dipende dalla scelta dei due rappresentanti.

La classe nulla risulta (0), infatti A+(0) = (0)+ A = A, dove (0) è la classe

cui appartiene il razionale zero.

L'inverso di I = [ a , b ] risulta -I = [ -b , -a ], infatti se A= (I ) e B= (I' ),

n n n n n n n n

A+B= (0) = B+A.

Dunque si verifica facilmente che (S/R, +) è un gruppo abeliano.

Analogamente, siano (I ) , (I' ) elementi di S per ogni n naturale definendo

n n

.

J = I I' = [ min (a a' , a b' , a' b , b b' ), max (a a' , a b' , a' b , b b' ) ]

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

. .

) = (I ) (I' ) in S e si verifica facilmente che " " è un'operazione

si avrà (J

n n n

associativa e commutativa. La classe unitaria è indicata con (1) e cioè quella

classe cui appartiene il razionale 1, infatti

. .

A (1) = (1) A = A per ogni A nell'insieme quoziente S/R.

≠ ∀ ∈ Ν ∉

(0) dunque n 0 ([a , b ])

Sia A([ a , b ]) n n

n n ⎛ ⎞

⎡ ⎤

1 1

⎜ ⎟

-1 -1

mediante la posizione:

quindi è lecito definire A , = A

⎜ ⎟

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎝ ⎠

b a

n n

. ) è un gruppo abeliano, inoltre si verifica facilmente che

per cui (S/R-{0},

. .

l'operazione " " è distributiva rispetto alla "+" , quindi (S/R, +, ) è un campo.

In esso si può introdurre una relazione d'ordine compatibile con la sua

struttura. 2

Se A e B sono elementi si S/R si dice che A<B quando comunque si considerino

) in A e (I' ) in B esiste un m naturale tale che max I < min I' .

due successioni (I

n n m m

In tal modo è facile verificare che S/R risulta strutturato come un campo ordinato

archimedeo.

1. La frazione generatrice di una espansione decimale periodica

Nel paragrafo precedente sono state introdotte delle operazioni

nell'insieme S/R delle scatole cinesi, dove R era una opportuna relazione

d'equivalenza, osserviamo innanzitutto che se si considerano due intervalli [ a , b ]

e [ c , d ] la loro differenza sarà chiaramente

[ a , b ] - [ c , d ] = [ a , b ] + (- [ c , d] ) = [ a , b ] + [ - d , - c ] = [ a - d , b - c ]

≥ ≥ ≤ ≤

e notiamo che siccome a - c a - d e b - c b - d visto che a b e c d, allora si

ha che ⊇ ≤

[ a - c , b - d ] se a - c b - d oppure

[ a - d , b - c ] ⊇ ≤

[ a - d , b - c ] [ b - d , a - c ] se b - d a - c.

Per cui consideriamo i seguenti esempi:

Esempio n. 1

r = 2

. 3

r= [ 2 ; 3] , [ 2.3 ; 2.4] , [ 2.33 ; 2.34 ] , [ 2.333 , 2.334 ] , ……

10 r = [20 ; 30 ] , [ 23 ; 24] , [ 23.3 ; 23.4 ] , [ 23.33 , 23.34 ] , ……

consideriamo gli intervalli di pari ampiezza partendo da quelli di misura 1 e

trascurando quelli di ampiezza superiore.

Così si ottiene

10 r - r = 9 r = [ 23 - 2 , 24 -3 ] , [ 23.3 - 2.3 ; 23.3 - 2.3 ] ………. = [ 21 ; 21 ] ,

……….= 21

da cui 9 r = 21 , quindi r = 21/9 .

Esempio n.2

s = 4 .

56

s = [ 4 ; 5] , [ 4.5 ; 4.6 ] , [ 4.56 ; 4.57 ] , [ 4.565 ; 4.566] , [ 4.5656 ; 4.5657 ] ,

…… , [ 45 ; 46 ] , [ 45.6 ; 45.7 ] , [ 45.65 ; 45.66] , [ 45.656 ; 45.657 ] ,

10 s = [ 40 ; 50]

…… , [ 450 ; 460 ] , [ 456 ; 457 ] , [ 456.5 ; 456.6] , [ 456.56 ;

100 s = [ 400 ; 500]

456.57 ] , ……

similmente a quanto visto nell'esempio n. 1, si ha

100 s - s = [456 - 4 ; 457 - 5 ], [ 456.5 - 4.5 ; 456.6 - 4.6 ] , ………. = [ 452 ; 452 ]

= …….= 452

da cui 99 s = 452 , quindi s = 452/99 .

Esempio n. 3

Analogamente agli esempi precedenti

5 .

478

t = −

5478 5 5473

= .

quindi si avrà che t = 999 999 3

Nel caso di un numero periodico semplice, risulta chiaro, quindi, l'algoritmo che

indica di riportare al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e di

riportare al numeratore la differenza tra il numero intero ottenuto dalle sue cifre e

la sua parte intera.

Esempio n. 4

4

.

5 6

u =

u = [ 4 ; 5 ] , [ 4.5 ; 4.6 ] , [ 4.56 ; 4.57 ] , [ 4.566 ; 4.567] , [ 4.5666 ; 4.5667 ] ,

……

10 u = [ 40 ; 50] , [ 45 ; 46 ] , [ 45.6 ; 45.7 ] , [ 45.66 ; 45.67] , [ 45.666 ; 45.667 ] ,

……

100 u = [ 400 ; 500] , [ 450 ; 460 ] , [ 456 ; 457 ] , [ 456.6 ; 456.7] , [ 456.66 ;

456.67 ] , ……

quindi

100 u - 10 u = 90 u = [ 456 - 45 ; 457 - 46 ] , [ 456.6 - 45.6 ; 456.7 - 45.7 ] ,

…………= [411, 411], ……….. = 411

da cui 90 u = 411, quindi u = 411/90 , si perviene immediatamente ad una

successione costante.

Infatti, nel caso di numeri periodici misti si ha la seguente descrizione: la

frazione generatrice si ottiene indicando al denominatore tanti nove quante sono le

cifre del periodo e tanti zeri quante sono quelle dell'antiperiodo (per antiperiodo

sono intese le cifre della parte decimale tra il punto e il periodo) e al numeratore la

differenza tra il numero intero ottenuto da tutte le sue cifre e l'intero ottenuto dalle

cifre che precedono il periodo.

Esempio n. 5

5 . 4 78

v =

v = [ 5 ; 6 ] , [ 5.4 ; 5.5 ] , [ 5.47 ; 5.48 ] , [ 5.478 ; 5.479] , [ 5.4787 ; 5.4788 ] ,

……

10 v = [ 50 ; 60 ] , [ 54 ; 55 ] , [ 54.7 ; 54.8 ] , [ 54.78 ; 54.79] , [ 54.787 ; 54.788 ]

, ……

100 v = [ 500 ; 600 ] , [ 540 ; 550 ] , [ 547 ; 548 ] , [ 547.8 ; 547.9] , [ 547.87 ;

547.88 ] , ……

1000 v = [ 5000 ; 6000 ] , [ 5400 ; 5500 ] , [ 5470 ; 5480 ] , [ 5478 ; 5479] ,

[ 5478.7 ; 5478.8 ] , [ 5478.78 ; 5478.79] , ……….

Similmente all'esempio n. 4, calcolo

1000 v - 10 v = [ 5478 - 54 ; 5479 - 55 ] , [ 5478.7 - 54.7 ; 5478.9 - 54.8 ] ,

……….. = 5424

da cui 990 v = 5424, quindi v = 5424 / 990.

Infine, quando la periodicità è uguale a 9, si ha:

4

Esempio n. 6

7

. 9

Se z = −

79 7 72

= =

procedendo come prima si ottiene: z = 8

9 9

sembra più interessante osservare che

z = [ 7 ; 8 ] , [ 7.9 ; 8 ] , [ 7.99 ; 8 ] , …………

e 8 è proprio un razionale che appartiene a tutti gli intervalli di tale scatola cinese,

pertanto z = 8.

Notiamo, in generale che se r è un numero decimale, sarà nella forma

a ……...a p p ……p

r = n, a 1 2 k 1 2 m

dove n è la parte intera, con k cifre di antiperiodo e m cifre di periodo

.

k

dunque 10 a ……...a , p p ……p

r = n a 1 2 k 1 2 m

.

k+m

10 a ……...a p p ……p , p p ……p

r = n a 1 2 k 1 2 m 1 2 m

.

. . . .

k+m k k m

10 - 1 ) = 99……9 100….0

r - 10 r = 10 r (10 r

(con m volte 9 e k volte 0)=

a ……...a p p ……p , p p ……p - n a a ……...a , p p ……p

= n a 1 2 k 1 2 m 1 2 m 1 2 k 1 2 m

in definitiva

…

… …

… …

…

n a a ...a p p p - n a a ...a

1 2 k 1 2 m 1 2 k

r = 99

......

900

......

0

Se k = 0 il numero è periodico semplice e si ha:

…

…

n p p p - n

1 2 m

r = 99

......

9

Esempio

7,493

57

x =

k= 3, m=2

749357 - 7493

r = .

99000

2. La frazione generatrice e la serie geometrica

Sia a + a + a + a + ……… + a + …………. una serie reale

0 1 2 3 n

di termine iniziale a e dove q = a /a = a /a = a /a per ogni n naturale,

0 1 0 2 1 n+1 n

2 3 n

si può scrivere a ( 1 + q + q + q +……… + q +………) , avendo ottenuto la

0

serie geometrica di ragione q che è convergente se | q | < 1.

+

− n 1

1 q

a

= la somma parziale di ordine n.

Inoltre, essendo s 0

n −

1 q a

lim s 0

n

La somma della serie è data da s = = −

→ ∞ 1 q .

n 5

Quindi considerando l'esempio precedente ⎛ ⎞

3 3 3 1 1 1

+ + + + = + + + + =

⎜ ⎟

2 ..........

....... 2 3 ..........

..

r = 2

. 3 = ⎝ ⎠

10 100 1000 10 100 1000

∞ p

⎛ ⎞

1

∑

+ = + −

⎜ ⎟

= 2 3 2 3

( s ' 1

) dove s' è la somma della serie geometrica di

⎠

⎝ 10

=

p 1

ragione 1/10 , quindi

⎛ ⎞

⎜ ⎟

1 7

⎜ ⎟

+ − =

2

. 3 .

= 2 3 1

r = ⎜ ⎟

1 3

−

⎜ ⎟

1

⎝ ⎠

10

Comunque, anche senza fare ricorso alle serie l'argomento può essere affrontato

con una certa approssimazione limitandosi a considerare le somme parziali.

p

∞ ⎛ ⎞

1

∑ ⎜⎝ ⎟⎠

Infatti, se nella precedente espressione sostituiamo alla la sua ridotta

10

=

1

p

⎛ ⎞

+

n 1

⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

− ⎜ ⎟

1

p ⎜ ⎟

⎛ ⎞

n ⎝ ⎠

1

∑ 10 −

=

⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ ⎟

n-esima 1 si può facilmente far comprendere che

1

10 ⎜ ⎟

−

=

p 1 1

⎜ ⎟

10

⎝ ⎠

+

n 1

⎛ ⎞

1

⎜ ⎟ tende rapidamente a zero e può essere

all'aumentare di n il termine ⎝ ⎠

10

trascurato nella ricerca della frazione generatrice. In tal modo non si fa ricorso

esplicitamente al concetto di limite e si rischia di lasciare qualche perplessità.

Infine, l’algoritm