Didattica delle frazioni: analisi e problemi di introduzione

CD BC

AB AB

5

La scrittura 4:5 indica il rapporto tra le lunghezze dei due segmenti.

Questo rapporto di proporzionalità è anche applicabile agli insiemi

discreti considerando due raccolte di oggetti che siano in rapporto fra

loro (due insiemi A e B contenenti uno x e l’altro y elementi stanno fra

x A x

12

loro nel rapporto di da cui A:B=x:y o anche e il rapporto che

=

y B y

c’è fra loro è appunto “di x a y”).

Intuitivamente,però, ci si allontana da quella che era la definizione

originaria di frazione, e, anche se prendessimo il segmento o l’insieme di

a x

e a primo

oggetti in esempio come unitari, il fatto di esprimere y

b

acchito sembra riferirsi a oggetti completamente diversi dalle frazioni.

Una modellizzazione matematica di questa interpretazione chiama in

e G sono due grandezze variabili che

causa la proporzionalità.; se G

1 2

possano assumere valori diversi ma reciprocamente legati sempre dallo

stesso rapporto esprimibile con una tavola numerica tipo:

12 Ci riferiamo al rapporto fra la cardinalità dei due insiemi A e B .

- 41 -

G G

1 2

8 10

12 15

16 20

… …

a b e G è di 4 a 5

appare abbastanza chiaro che il rapporto che lega G

1 2

:G =4:5 che non come

che è meglio esprimibile secondo la scrittura G

1 2

4

G = .

1 5

G 2

D’altra parte, ricordando che una proporzione altro non è che

l’uguaglianza di due rapporti per esempio 4:5=12:15 possiamo affermare

4 12

che le due frazioni e sono due scritture diverse dello stesso numero

5 15

razionale. In altre parole le coppie di naturali (4;5) e (12;15)

appartengono alla stessa classe di equivalenza.

Questo è un altro uso semantico del termine frazione che ha la

particolarità dell’interscambiabilità fra numeratore e denominatore, in

4

quanto se il rapporto che lega G e G è di 4 a 5 (e quindi ) quello che

1 2 5

5

a G sarà di 5 a 4 (cioè ).

legherà G

2 1 4

- 42 -

Una visione grafia, molto efficace, si ha nel caso del teorema di Talete:

′ ′ ′ ′ oppure

dove è indifferente scrivere :

A B AB: BC=

AB: =BC B C

′ ′

AB BC AB A B

′ ′ ′ ′ cioè oppure .

=

=

A B : B C ′ ′ ′ ′ ′ ′

A B B C BC B C

Quindi il rapporto di proporzionalità è comunque in entrambi i casi

espresso bene ma questa intercambiabilità fra

numeratore/antecedente/estremo e denominatore/conseguente/medio

può, se non compreso bene, creare misconcezioni.

2.4. La frazione come operatore

La frazione può anche essere considerata un operatore moltiplicativo, e

con tale significato la frazione è spesso usato nella scuola, perché,

agendo sui numeri puri piuttosto che su insiemi continui o discreti è

intesa col significato di una nuova operazione che combina la divisione e

la moltiplicazione. m

Per esempio trovare di un insieme di x oggetti significa

n

immediatamente operare come segue: (x:n) m in quanto “l’operatore

×

frazione” agisce sul numero x e non sull’insieme costituito da x oggetti.

La situazione problematica per gli studenti si presenta quando il numero

- 43 -

di elementi non è divisibile per il denominatore della frazione, ma,

superato quell’ostacolo intuitivo e dedotto che è possibile eseguire (se

questo può esserci utile nel calcolo) prima la moltiplicazione e poi la

divisione allora la frazione è acquisita come operatore e non come

relazione parte/tutto.

2.5. La frazione in probabilità

Esaminiamo il ruolo della frazione in questo caso con un esempio:

valutiamo ora la probabilità secondo la quale, gettando due dadi, uscirà

un multiplo di 4… I casi possibili sono 36, gli eventi favorevoli sono 9

(che esca 4 si presenta in tre casi, 8 si presenta in cinque casi, 12 si

presenta solo in un caso). Dunque, la probabilità di quell’evento è

9

esprimibile con la scrittura , cioè il numero dei casi favorevoli

36

all’evento rispetto al numero dei casi possibili.

9 esprime una misura, una probabilità e il fatto che tale frazione sia, da

36 1 ci dice ben poco. Dice assai

un punto di vista aritmetico, equivalente a 4

25 specie se la scriviamo sotto la

più un’altra frazione equivalente 100

forma usuale 25%. Se poi esprimiamo le frazioni dette in un’altra

27

equivalente per esempio questa frazione perde proprio senso,e non

108

rappresenta più il problema che si stava discutendo.

Ci siamo in questo modo allontanati molto da quella intuitiva definizione

che all’inizio avevamo dato di frazione.

- 44 -

2.6. La frazione nei punteggi

Se due amici andassero al luna park, e giocassero al tiro al bersaglio, si

potrebbe ipotizzare li situazione in cui il primo dei due che chiameremo

A voglia colpire un bersaglio e avesse solo 5 tiri a disposizione.

Supponiamo che faccia centro 2 volte; nella seconda manche ha a

disposizione 3 tiri e fa centro ancora 2 volte.

Il secondo amico B fa centro 3 volte su 5 nella prima manche e poi solo

una volta su 3 nella seconda manche.

A ha fatto centro 4 volte su 8 ed anche B ha fatto 4 su 8.

Esprimendo matematicamente quello che è avvenuto si ha che:

A A A B B B

I II TOT I II TOT

2 2 4 3 1 4

5 3 8 5 3 8 2 2 4 13 equivalente

Ci troviamo di fronte “all’addizione” di frazioni : + ≈

5 3 8

1 che ci dice che A e B hanno colpito il bersaglio la metà delle volte

ad 2

che hanno tirato.

Le frazioni nei punteggi sono un oggetto matematico che ha peculiarità

proprie, intuitive ma assai poco vicine alla definizione che era stata data

all’inizio.

13 Da notare che non si tratta di somma di frazioni nel senso classico l’uguale scritto non coincide

con l’uguale a cui siamo abituati in aritmetica. - 45 -

2.7. La frazione come numero razionale

Alla domanda cos’è un numero razionale un matematico risponderebbe

subito: il rappresentante di una classe di equivalenza. ( )

Infatti una volta stabilita la relazione di equivalenza tale che

≈

, il numero razionale non è altro che il

≈ ↔ =

( ; ) ( ; ) ( ; )

a b c d ad bc a b

[ ] costituita da tutte le

rappresentante della classe di equivalenza ( , )

a b ( )

infinite coppie di numeri{ con e } che sono

∈ −

∈

( ; ) 0

a b b N

a N

equivalenti fra loro. Solo per comodità si evita di scrivere un numero

razionale come rappresentante di una classe di equivalenza e lo si

a

o lo si scrive sotto forma di frazione .

presenta sotto la forma ( ; )

a b b

[ ] questi

Quindi quando parliamo per esempio del numero razionale (

1

,

5

)

1 o anche (anche se

trova una ottima rappresentazione nella scrittura 0

, 2

5

le due rappresentazioni hanno all’origine un significato profondamente

diverso) ma in realtà sappiamo benissimo che si porta dietro tutte le

infinite coppie di numeri ad esso equivalenti rappresentate ottimamente

da “una frazione ridotta ai minimi termini”.

Il fatto di poter rappresentare un numero razionale attraverso una

frazione è estremamente di aiuto quando ci troviamo a dovere operare

addizioni o moltiplicazioni fra numeri razionali periodici o misti. Se

volessimo fare un esempio dover eseguire l’addizione o la

+ 2

,

3

3

, 4

moltiplicazione fra gli stessi numeri, è ovvio che la scrittura frazionaria

in somma di

ci viene in aiuto perché trasformando la scrittura +

3

, 4 2

,

3

+

31 23 310 207 517

frazioni si evita allo studente di trovarsi

+ = = = 5

,

7 4

9 10 90 90

in una situazione di imbarazzo. Per lo stesso motivo conviene eseguire

la moltiplicazione utilizzando lo “strumento” frazione che come si è

visto e poco utile per rappresentare i numeri razionali e gestirne la teoria,

- 46 -

mentre risulta di fondamentale importanza per gestire le operazioni fra

essi. a

In altre parole la frazione non è un numero razionale ma lo

b

rappresenta abbastanza bene. n

Osservando che sia la frazione che la scrittura decimale n,0

∀ ∈

n N 1 )] vediamo facilmente che

riescono bene a rappresentare il razionale [( ,

1

n

a possono essere pensati come una estensione dei

i razionali assoluti Q

naturali.

2.7.1. Numeri razionali e numeri decimali

Abbiamo visto che il numero razionale [(m;n)] può essere rappresentato

14

sia da una frazione che da un numero decimale periodico , e la loro

scrittura è intercambiabile nel senso che è possibile passare dalla

frazione al decimale e viceversa.

m

A partire da una frazione con m ed n interi ed n≠0, ed eseguendo la

n

divisione, a seconda che la divisione abbia termine o meno, otteniamo un

quoziente decimale periodico che può essere un numero decimale finito

(se il periodo è zero) o decimale periodico ( se il periodo è 0).

≠

A partire invece da una rappresentazione decimale periodica (di periodo

0 o 0) possiamo sempre risalire alla frazione generatrice di

≠

quell’allineamento di cifre.

14 Se il numero decimale è finito lo si può vedere come un numero decimale periodico di periodo zero.

Ritengo utile definire il rappresentate di un razionale un numero decimale sempre e comunque

decimale periodico per evitare confusioni quando nell’introduzione dei numeri irrazionali ci

troveremo davanti ad allineamenti decimali infiniti, che però, a differenza di questi, non sono

periodici affatto. - 47 -

a. Numeri decimali finiti

Una frazione avente per denominatore una potenza di 10 è detta frazione

decimale.

• Se il numero razionale assegnato è espresso da una frazione

decimale con il numeratore multiplo del denominatore, esso corrisponde

ad un numero intero;

• Se invece la frazione decimale assegnata non ha il numeratore

multiplo del denominatore, è possibile trasformarla in un numero

formato da una parte intera e una decimale, separate da virgola, detto

numero decimale finito. Infatti basta dividere il numeratore per il

denominatore della frazione: 14 = 14:100=0,14

100 m

Se una qualsiasi frazione ridotta ai minimi termini e non decimale n

determina un numero decimale finito, essa è equivalente ad una frazione

1 25 1

decimale .

= = ≈

0

, 25

4 100 4

In