Sviluppo demografico e fonti energetiche

Per approntare tale modello matematico ci affideremo alle seguenti ipotesi:

1. La popolazione senza risorse (x = 0) è destinata a decrescere esponenzialmente.

2. La quantità di risorse che viene “depredata” nell'unità di tempo è dovuta alla probabilità

proporzionale a xy di trovare le risorse sparse nel territorio.

3. L'incremento della popolazione nell'unità di tempo è favorito dalla probabilità

proporzionale a xy di trovare le risorse sparse nel territorio.

Naturalmente ci interessa il caso limitato al primo quadrante ovvero a valori non negativi di x e y .

Le equazioni che rispondono a queste caratteristiche sono quindi le seguenti: 2

A. Urso - Sviluppo demografico e fonti energetiche

 dx = − b xy

 1

dt

 (1)



 dy = − +

a y b xy

 2 2

 dt

a a 1

Ponendo: si ottiene un sistema riscalato:

= = =

2 2

x X ; y Y ; t T

b b a

2 1 2

 dX = − XY

 dT

 (2)



 dY = − +

Y XY



 dT

Nella figura sotto possiamo vedere l'orbita nel piano delle fasi con punto di passaggio iniziale:

(X ; Y ) = (1; 1) e relativo campo direzionale; di seguito l'evoluzione temporale delle risorse X

0 0

(curva blu) e della popolazione Y (curva nera) nella quale possiamo vedere l'andamento del declino

delle risorse nel tempo e l'aumento numerico della popolazione che raggiunge un massimo per poi

flettere fino ad estinguersi ancora prima della fine completa delle risorse che non potranno essere

utilizzate perché alla fine troppo poche per essere trovate da una popolazione molto esigua.

Fig. 1 - primo modello (risorse nascoste)  

-Y -X

( )

Il luogo dei punti di equilibrio della (2) si trova in Y = 0 . Lo Jacobiano:  

=

J X ; Y  

+

Y -

1 X

 

ha il determinante nullo per Y = 0 e mostra la peculiarità degenere dell'isoclina; in particolare si

trova che per X > 1 l'equilibrio è instabile, mentre nell'intervallo: 1 > X > 0 l'equilibrio è

asintoticamente stabile. − +

dY Y XY 1

L'equazione dell'orbita si può ricavare facilmente: = = − = − +

1 ; Y ln X X C

−

dX XY X

Quindi avremo che il campo di esistenza dell'orbita è: X > 0 e di conseguenza le risorse non

possono in ogni caso estinguersi del tutto. [1]

Secondo modello (risorse palesi):

Vediamo adesso un caso molto interessante dove stavolta le risorse possono essere trovate senza

difficoltà, ma hanno bisogno di essere estratte ed elaborate per poter essere assimilabili. 3

A. Urso - Sviluppo demografico e fonti energetiche

1. La popolazione senza risorse (x = 0) è destinata a decrescere esponenzialmente.

2. La quantità di risorse che viene “depredata” nell'unità di tempo è proporzionale al numero

y della popolazione.

3. L'incremento della popolazione nell'unità di tempo è favorito dal numero di risorse x

moltiplicato per il numero y di popolazione che la estrae e la elabora per renderla

assimilabile.

L'equazione, opportunamente riscalata, che risponde a queste caratteristiche è la seguente:

 dX = − Y

 dT

 (3)



 dY = − +

Y XY



 dT

Nella seconda figura possiamo osservare l'orbita nel piano delle fasi con punto di passaggio

iniziale: (X ; Y ) = (1; 0.5) e relativo campo direzionale; di seguito l'evoluzione temporale delle

0 0

risorse X (curva blu) e della popolazione Y (curva nera) nella quale possiamo vedere l'andamento

del declino delle risorse nel tempo e lo sviluppo della popolazione che raggiunge un massimo per

poi flettere in modo simmetrico fino ad estinguersi insieme alle risorse.

Fig. 2 - secondo modello (risorse palesi) −

 

0 1

( )

Il luogo dei punti di equilibrio della (3) si trova in Y = 0 . Lo Jacobiano:  

=

J X ; Y  

+

Y -

1 X

 

ha il determinante nullo per Y = 0 mostrando la peculiarità degenere dell'isoclina; in particolare si

trova che per X > 1 l'equilibrio è instabile, mentre nell'intervallo: 1 > X ≥ 0 l'equilibrio è

asintoticamente stabile. L'equazione dell'orbita è:

− +

dY Y XY 1

= = − = − +

2

1 X ; Y X X C

−

dX Y 2

pertanto avremo un arco si parabola che si deve evolvere per: X ≥ 0 . Affinché tale funzioni abbiano

senso possiamo imporre la condizione al contorno Y = 0 per X = 0 (attrattore), quindi: C = 0 . 4