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Sintesi
oolong-floral_geometry.jpg Scopo di questa tesi è quello di presentare alcuni problemi di ottimizzazione in ambito didattico. Si definisce il classico problema isoperimetrico in uno spazio euclideo e si danno alcuni argomenti elementari per la sua risoluzione in un piano euclideo. Infine, si riportano i dati raccolti in alcune scuole di istruzione secondaria superiore presso le quali è stato proposto un questionario riportante alcuni problemi di ottimizzazione. Questa tesi partecipa al concorso ""
INDICE
Presentazione Introduzione 1 1. Il problema isoperimetrico 10 1.1 La disuguaglianza isoperimetrica nel piano 11 2. Disuguaglianze che implicano la disuguaglianza isoperimetrica 19 2.1 La disuguaglianza di Tolomeo 22 2.2 La disuguaglianza di Brahmagpta 26 3. Cenni di teoria geometrica della misura 31 3.1 Basi di teoria della misura 31 3.2 La misura di Hausdorff 38 3.3 Teoremi di ricoprimento 42 3.4 La misura di Lebesgue 43 3.5 Curve e continuità 44 Maria Cristina Migliucci – Esperienze didattiche su problemi di ottimizzazione II 4. Alcuni problemi di massimo e minimo 58 4.1 Il problema di Didone 58 4.2 Il problema del quadrato opaco 60 5. Il test nelle scuole 66 5.1 Conclusioni 70 Appendice 72
Nel primo capitolo si definisce il classico problema isoperimetrico in uno spazio euclideo e si danno alcuni argomenti elementari per la sua risoluzione in un piano euclideo. In particolare si fornisce una recente dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica, la quale non include però una vera e propria caratterizzazione dell’uguaglianza. Successivamente si prova la disuguaglianza isoperimetrica usando le serie di Fourier.
Nel secondo capitolo, si cerca di risolvere il problema isoperimetrico per i quadrilateri nel piano con quattro lati assegnati senza ricorrere all’utilizzo della disuguaglianza isoperimetrica dimostrata nel primo capitolo. Si giungono così a dimostrare la disuguaglianza di Tolomeo e la disuguaglianza di Brahmagupta e la proprietà del massimo per i quadrilateri in entrambi i casi.
Nel terzo capitolo si definisce la misura di Hausdorff e si scorrono le sue proprietà basilari. Ci si interessa poi particolarmente di insiemi di dimensione s , gli s insiemi: insiemi di dimensione finita di Hausdorff diversa da zero. Si caratterizzano poi gli insiemi come sottoinsiemi di unioni numerabili di curve o superfici rettificabili presentando così una teoria degli insiemi misurabili linearmente , cioè degli 1 insiemi in R<sup>2</sup> . In ultimo si dimostra il risultato di Blaschke (teorema 3.18), che rappresenta una delle basi per la dimostrazione dell’esistenza di una curva di massima misura con specifiche proprietà.
Nel quarto capitolo si propone poi la soluzione di due problemi di ottimizzazione: il classico problema di Didone, dimostrato con un approccio puramente geometrico attraverso la “manovra di Steiner”, ed il problema di Fred Almgren, più noto come il problema del quadrato opaco, la cui dimostrazione si basa appunto sul teorema di selezione di Blaschke.
Nel quinto capitolo, infine, si riportano i dati raccolti in alcune scuole di istruzione secondaria superiore presso le quali è stato proposto un questionario riportante alcuni problemi di ottimizzazione.
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redazione
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