Matematica? ... No problem! (ebook)

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Carlo Sintini

Matematica? … No problem!

Tutta la matematica di base

Per i licei e il biennio universitario

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Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Carlo Sintini

Matematica? … No problem!

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© Carlo Sintini / Matematicamente.it febbraio 2011

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www.matematicamente.it libri@matematicamente.it

Il presente libro è rilasciato nei termini della licenza

Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 2.5 Italia, il cui testo integrale è disponibile in

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La versione digitale dell’opera è disponibile gratuitamente al sito www.matematicamente.it

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Universal Book via Botticelli, 22 87036 Rende (CS)

ISBN 978 88 96354 08 7

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Carlo Sintini: Matematica? No problem!

A mio nipote Samuele

4

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Indice

Introduzione 9

Cap. 1 - Premesse 10

Par. 1 - Proprietà delle potenze 10

Par. 2 - Proprietà dei radicali 11

Par. 3 - I prodotti notevoli 13

Par. 4 - Varie 14

Par. 5 – Le categorie numeriche 15

Par. 6 - Gli intervalli 20

Par. 7 - Le disuguaglianze e le disequazioni 23

Par. 8 - Le espressioni con modulo 31

Cap. 2 - Grafici, simmetrie e traslazioni 35

Par. 1 - I grafici nel piano cartesiano 35

Par. 2 - Il dominio 41

Par. 3 - Le simmetrie 45

Par. 4 - Le costanti additive e moltiplicative 49

Par. 5 - Le traslazioni 53

Cap. 3 - Trigonometria 56

Par. 1 - La misura degli angoli in quadranti 56

Par. 2 - Le funzioni trigonometriche 59

Par. 3 - Le relazioni fondamentali 63

Par. 4 - Gli angoli notevoli 69

Par. 5 - La riduzione al primo quadrante 74

Par. 6 - Alcune formule importanti 76

Par. 7 - Le equazioni e disequazioni trigonometriche 80

Cap. 4 - Logaritmi ed esponenziali 87

Par. 1 - La definizione di logaritmo 87

Par. 2 - Le equazioni esponenziali 88

Par. 3 - Le equazioni logaritmiche 90

5

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Par. 4 - La funzione esponenziale 91

Par. 5 - La funzione logaritmica 93

Par. 6 - Le proprietà dei logaritmi 96

Cap. 5 - Geometria analitica 101

Par. 1 - Prime formule 101

Punto medio fra due punti 101

Distanza fra due punti 101

Equazione retta passante per due punti 102

Par. 2 - Equazione della retta 103

Par. 3 - Ancora sulle rette 106

Fasci di rette 106

Parallelismo e perpendicolarità fra rette 107

Distanza di un punto da una retta 109

Angolo fra due rette 109

Par. 4 - La circonferenza 110

Par. 5 - La parabola 115

Par. 6 - L’ellisse 125

Par. 7 - L’iperbole 130

Par. 8 - Formule di rotazione 137

Par. 9 - La funzione omografica 140

Par. 10 - Le coniche generiche 143

Par. 11 - Le coniche degeneri 149

Cap. 6 - I limiti 154

Par. 1 - Premesse 154

Par. 2 - Il concetto di limite 158

Come si calcola un limite? 160

Par. 3 - Le forme indeterminate 161

Par. 4 - Teoremi sui limiti (senza dimostrazione) 164

Par. 5 - Limiti notevoli (senza dimostrazione) 165

Par. 6 - Confronto fra infinitesimi 166

6

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Par. 7 - Funzioni continue 169

Par. 8 - Le discontinuità 172

Cap. 7 - Le derivate 175

Par. 1 - Dal rapporto incrementale alla derivata 175

Par. 2 - Continuità e derivabilità 181

Par. 3 - Regole di derivazione 183

Par. 4 - Le funzioni composte 184

Par. 5 - La derivazione delle funzioni inverse 185

Par. 6 - Il teorema di Rolle 191

Par. 7 - Il teorema di Lagrange (valor medio) 192

Par. 8 - Il teorema di Cauchy 192

Par. 9 - Il teorema di De l’Hospital 193

Cap. 8 - Gli integrali 196

Par. 1 - Il concetto di differenziale 196

Par. 2 - L’integrale definito 198

Par. 3 - Proprietà dell’integrale definito 201

Par. 4 - La funzione integrale 204

Par. 5 - Teorema di Torricelli-Barrow 204

Par. 6 - Integrali immediati 207

Par. 7 - Calcolo di un’area 208

Par. 8 - Integrazione per sostituzione 210

Par. 9 - Integrazione per parti 211

Par. 10 - Integrazione per scomposizione 212

Par. 11 - Teorema della media 215

Par. 12 - Volume di un solido di rotazione 216

Par. 13 - Integrali impropri 217

Cap. 9 - Matrici 219

Par. 1 - Premesse sulle matrici 219

Par. 2 - Determinante di una matrice quadrata 220

Par. 3 - Proprietà delle matrici quadrate 223

7

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Par. 4 - Operazioni fra matrici 227

Par. 5 - La regola di Cramer 229

Par. 6 - Il teorema di Rouché-Capelli 231

Par. 7 - I sistemi omogenei 234

Cap. 10 - Calcolo vettoriale 238

Par. 1 - Elementi di calcolo vettoriale 238

Par. 2 - Prodotto scalare fra due vettori 243

Par. 3 - Prodotto vettoriale fra due vettori 245

Par. 4 - Proprietà ed esempi 249

Cap. 11 - Geometria analitica nello spazio 257

Par. 1 – Rette e piani 257

Par. 2 - Parallelismo e perpendicolarità 263

Par. 3 - Le quadriche 270

Par. 4 - Invarianti 276

8

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Introduzione

Questo testo non ha alcuna pretesa di costituire un’esposizione rigorosa e completa degli argomenti trattati.

È soltanto un manuale di rapida consultazione per studenti che, in alcuni punti, offre (forse) una spiegazione più chiara ed intuitiva rispetto a quella normalmente presente nei testi tradizionali.

Ho volutamente saltato molte dimostrazioni, preoccupandomi però in molte occasioni di fornire una giustificazione logica di quanto andavo affermando.

Come scelta consapevole (suggerita dalla mia esperienza di docente di un liceo scientifico), preferisco usare il rigore scientifico solo quando è necessario, ma non sempre.

Preferisco decisamente la semplicità e l’immediatezza ad un rigore formalmente ineccepibile a spese della chiarezza.

Lo scopo di questi appunti è quello di fornire un valido appoggio ai testi tradizionali presentando in modo sintetico e chiaro tutti i punti fondamentali e tradizionalmente più ostici per lo studente, insieme ad un repertorio abbastanza ampio di esempi svolti.

Carlo Sintini

c.sintini@libero.it

9

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Cap. 1 - Premesse

Par. 1 - Proprietà delle potenze

In questo primo capitolo passiamo in rassegna alcuni concetti elementari che dovrebbero essere già noti, ma che spesso sono (almeno in parte) del tutto dimenticati.

Cominciamo con un ripasso sulle proprietà delle potenze.

n

1) 1 = 1

0

2) a = 1 (tranne che per a = 0 perché in tal caso il risultato è indeterminato)

n n n n

3) (a b c) = a b c (Attenzione! Gli elementi dentro parentesi devono essere tutti moltiplicati fra loro: non devono esserci segni di addizione)

n

  n

a a



 

4) (Attenzione! Anche qui gli elementi

  n

b b

dentro parentesi devono essere divisi fra loro: non devono esserci segni di sottrazione)

m n m+n

5) a a = a (Attenzione! La regola non vale se al primo membro c’è a + a )

m n

primo membro c’è a - a )

m

a 

 m n

a

6) (Attenzione! La regola non vale se al

n

a m n

primo membro c’è a - a )

 

n 



m m n

a a

7) n

  n

1 1 1

   

 

n

a

8)   n n

a a a

n  n

m

m

a a

9)  

n  n

m

m

10) a a

10

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Par. 2 - Proprietà dei radicali

Proseguiamo con le proprietà dei radicali:



0 (con a 1)

a

1) = impossibile

0 1

2) = indeterminato



1 a a

3) 

n

n a a

4)   



  

m p

n n p 2 2 5 10

3 3 5 15

m a a a a a

5) (Per esempio )

Applicando questa regola al contrario (Per esempio



15 3

10 2

a a ) si dice che si è ridotto, semplificato, il radicale.

6

  

6 2 2 2 2

3 3 3

3

a b a b a b

6) 6

       

7 2 6 1 2 2 2 2

3 3 3 3

3

a b a a b a a b a a b

 

6 2

3 a b (Attenzione! Con i segni non è possibile portare fuori di radice la potenza)



        

3 3 2 6 7

a a b a a b a a b a b

7)   

3

a a b (Attenzione! Anche in questi casi i segni impediscono di portare la potenza sotto la radice)

8) Prodotto o rapporto fra radicali con lo stesso indice:

      

2 2 2 2 3 2 2

3 3 3 3 3

ab a ab a a b a b

2 2

ab b

 

2 2

3 3

ab : a 3 3

2

a a

 

2 2

3 3

ab a (Attenzione! Al solito i segni impediscono l’unione delle radici)

11

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Se i radicali sono moltiplicati o divisi fra loro ed hanno indici differenti fra loro, si debbono prima trasformare in modo che gli indici diventino uguali, e poi si procede come sopra. Per esempio:  

2 3

3 4

a ab a b

Calcoliamo il m.c.m. dei tre indici (m.c.m. = 12), e trasformiamo i tre radicali applicando la regola 5) in modo che assumano tutti lo stesso indice 12:    

  4 3

     

6

  

2 3 2 3

3 4 2 6

a ab a b a ab a b

3 4 4 3

      

6 4 8 9 3 6 4 8 9 3

12 12 12 12

a a b a b a a b a b

       

19 11 12 7 11 7 11

12 12 12

a b a a b a a b

 

 

3 2 3 2 4

2 2 2

4 24

ab ab ab

9) 

  

4 4 8

3 3 2 6 6

2 2

4 2

a b a b a b a b



3 4

a b

(Ancora a causa dei segni ± non è possibile applicare la regola.)

Fa eccezione il caso, detto dei radicali doppi, in cui i due radicali abbiano entrambi indice 2, e la quantità a² - b sia un quadrato perfetto. 2 2

In tale caso, ponendo a² - b = c², si ha  

a c a c

  

a b 2 2

12

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Par. 3 - I prodotti notevoli

Raggruppiamo in questo paragrafo sia i prodotti notevoli classici, che quei criteri che permettono di trasformare un polinomio in un prodotto di due o più fattori.

 

    2

2 2

1) a 2ab b a b  

     3

3 2 2 3

2) a 3a b 3ab b a b  

        2

2 2 2

3) a b c 2ab 2ac 2bc a b c

   

    

2 2 2 2

a b a b a b

4) (Attenzione! a + b non è un prodotto notevole)

5) Il raccoglimento a fattor comune. Per esempio:

 

    

2 3 2 2 3 5 2 2 3

15a b 5a b 20a b 5a b 3b 1 4ab

6) Il doppio raccoglimento a fattor comune. Per esempio:

   

          

2 2 2 2

3a ab 2b 3a 3ab 2ab 2b 3a a b 2b a b

  

  

3a 2b a b 2

7) Ogni trinomio di secondo grado ax² + bx + c può essere

  

 

a x x x x

scritto nella forma dove x e x

1 2

1 2

2

sono le soluzioni dell’equazione ax² + bx + c = 0.

8) La divisione con il metodo di Ruffini.

Dato per esempio il

polinomio

   

3 2

x 2x 5x 6 0 esso,

vedi a fianco, si può scrivere

nella forma

 

 

   

2

x 1 x x 6 0

13

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Par. 4 - Varie

1) Razionalizzazione del denominatore di una frazione (procedimento per eliminare un radicale dal denominatore di una frazione). Ecco alcuni esempi fra i più comuni:



2 2 3 2 3

 

 3

3 3 3    

3 3 3 3

3 3 3 2 3 2 3 2 3 2

    



    

3 2 2 4

2 2 3

3 3 3

2 4 3

2 2 2 2 2 2 2

     

       

2 1 2 2 1 2 2 1 2

2      

    2 2 1

 

    1 2 1

1 2 1 2 1 2

2) Confronto fra due frazioni per stabilire quale delle due è più grande.

Basta moltiplicare in croce (con le frecce verso l’alto):

è più grande la frazione dalla cui parte si trova il risultato maggiore. Per esempio, fra le due frazioni sottostanti

più grande

è il prodotto 25 e quindi è più grande la seconda frazione.

3) Confronto fra due radicali. Si deve trasportare tutto sotto la radice e poi trasformare gli indici in modo che assumano lo stesso valore. Per esempio,

I due radicali 3

3 2 2 7

14

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

possono essere trasformati nel modo seguente:

3

3 2 2 7

 

3

2 3

3 2 2 7

 

3

9 2 8 7

3

18 56

 

2 3 3 2

3 2

18 56

6 6

5832 3136

Da cui risulta che il primo radicale è più grande del secondo perché il primo radicando (il numero sotto radice), è maggiore.

–

Par. 5 - Le categorie numeriche

Ripercorriamo l’evoluzione del concetto di numero partendo da quelli che per primi furono ideati dall’uomo: i numeri naturali (o numeri interi)

… 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

che sono indicati simbolicamente con la lettera N.

Questi altri sono invece i numeri positivi e negativi (o numeri relativi) … 0 1 2 3 4 5 …

-5 -4 -3 -2 -1

e sono indicati con la lettera Z.

Il segno più davanti ai numeri positivi è facoltativo ed in genere viene messo solo quando la sua mancanza può generare confusione. Lo zero è il solo numero a non avere segno: è unico.

Fra un numero intero (positivo o negativo) e il successivo possono essere inseriti infiniti altri numeri (i numeri decimali o con la virgola)

… … … … … … 0 … 1 … 2 … 3 … 4 … 5 …

-5 -4 -3 -2 -1 15

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

In questo caso i numeri si chiamano razionali e vengono indicati con la lettera Q. m

Tutti i numeri razionali possono essere messi sotto la forma n in cui m ed n sono entrambi numeri interi.

I numeri periodici appartengono alla categoria dei numeri razionali perché possono essere trasformati nella loro frazione generatrice.

Per esempio, 7

  

2,3333... 2, 3 2, (3) 3 192

  

2,13333... 2,13 2,1(3) 90 211

  

2,13131313... 2, 13 2, (13) 99

Il periodo (come mostrano il secondo e il terzo membro) può essere indicato sia con una sopra-linea che con una parentesi.

La frazione generatrice di un numero periodico si può ottenere applicando una semplice regola (che si insegna nelle scuole medie), e che non è necessario spiegare in questo contesto: con una calcolatrice tascabile è comunque possibile fare la controprova e verificare che le frazioni corrispondono proprio ai numeri periodici indicati.

È importante notare che anche i numeri naturali e relativi possono essere considerati razionali perché è possibile metterli

m

sotto la forma .

n 16

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

Per esempio, 5



5 1

0



0 1 4, 2 42 21

    

4, 2 1 10 5

Esistono però altri numeri che non possono essere messi sotto

m

la forma e per questa ragione sono detti irrazionali, e

n

sono caratterizzati dal fatto che hanno infinite cifre decimali non periodiche.

Essi provengono da tutte le radici che non corrispondono a potenze esatte

  ecc

3

2 1,412413... 7 1,213921...

dal rapporto di una circonferenza con il proprio raggio (il

  3,1415...

famoso pi greco), dal calcolo di quasi tutte le funzioni trigonometriche (per esempio:

cos 25° = 0,906307…), e si potrebbe seguitare con molti altri esempi.

I numeri razionali ed irrazionali costituiscono due insiemi separati, nel senso che un numero non può assolutamente appartenere ad entrambe le categorie: o può essere messo sotto

m

la forma (ed allora è razionale), o non può essere messo

n

sotto tale forma (ed allora è irrazionale).

L’insieme costituito dall’unione dei due insiemi, quello dei numeri razionali ed irrazionali costituisce una nuova categoria numerica che prende il nome di insieme dei numeri reali e vengono indicati con la lettera R.

17

Carlo Sintini: Matematica? No problem!

I numeri reali possono essere messi in corrispondenza con i punti di una retta:

Ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta, e ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale: si ha una corrispondenza che funziona in entrambe le direzioni (cioè biunivoca).

Se tentassimo invece di mettere a confronto i numeri N, Z, Q con una retta orientata, la corrispondenza funzionerebbe in una sola direzione. Cioè a ciascuno di questi numeri corrisponderebbe un punto sulla retta, ma ci sarebbero infiniti punti della retta ai quali non corrisponderebbe alcun numero.

m

N.B. A proposito dei numeri razionali nella forma occorre

n

precisare che

5  impossibile (nessun numero moltiplicato per 0 è uguale a 5)

0

0  indeterminato (ogni numero moltiplicato per 0 è uguale a 0)

0

quindi una frazione è nulla solo se il suo numeratore è nullo.

18