Per quale valore di
[math]a[/math]
la funzione
[math]f(x)=\begin{cases} & [(e^x-1)/(sen(3x) & [a(x+1 \ \end{cases}[/math]
è continua in [math]x=0[/math]
? Affinché vi sia continuità , deve accadere che
[math]lim_(x o0)f(x)=f(0)=a(0+1)=a[/math]
Il limite sinistro è ovviamente [math]a[/math]
Calcoliamoci il limite destro
[math]lim_(x o0^+)f(x)=lim_(x o0^+)frac{e^x-1}{\\sin3x}[/math]
Ma d'altra parte
[math]e^x-1\approx x\quad \text{se} \quad x o0[/math]
e
[math]\\sin3x\approx 3x\quad \text{se}\quad x o0[/math]
quindi il limite diventa
[math]lim_(x o0^+)frac{e^x-1}{\\sin3x}=lim_(x o0^+)frac{x}{3x}=1/3[/math]
Quindi si conclude che
[math]a=1/3[/math]
FINE
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