Limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito

Consideriamo la seguente funzione:

come sappiamo, la funzione è definita per tutti i numeri reali, escluso 1, quindi possiamo scrivere che il suo dominio é:

Esaminiamo il comportamento della funzione

, in cui essa non definita; riassumiamo, quindi, in uno schema i valori che la funzione assume via via che x si avvicina sempre più ad 1:

Possiamo quindi notare che, più si avvicina al valore 1, più f (x) si avvicina al valore 3; in questo caso, si dice che per x che tende a 1, f(x) ha limite 3, oppure che f(x) tende a 3 per x tendente a 1.

Queste affermazioni possono essere riassunte con la seguente scritta:

Ciò significa che la distanza di f(x) dal punto cui tende diminuisce sempre di più all'approssimarsi di x a 1; sappiamo che tale distanza può essere espressa come valore assoluto della differenza tra f(x) e 3, in formula

, infatti abbiamo che:

Possiamo quindi dire che le distanze dei valori di f(x) da 3 possono essere resi piccoli a piacere, cioè possono essere resi più piccoli di qualsiasi numero positivo prefissato, a condizione di scegliere valori di x abbastanza vicini a 1.

In generale, si può verificare che, fissato un numero

, arbitrariamente piccolo, la distanza di f(x) da 3 risulterà minore di

per valori di

, appartenenti ad un intorno di 1 dipendente da

.

In questo caso, quindi, dovremmo verificare che la disequazione

è soddisfatta per un intorno di x = 1.

Escludendo il valore x = 1, per il quale la funzione non è definita, possiamo semplificare, e otteniamo:

Quindi, la disequazione è verificata per appartenente all'intervallo

e

, che è un intorno di 1.

Definizione di limite

Diamo ora una definizione generale, considerando una funzione f(x), definita in tutti i punti dell'intervallo [a ; b], escluso al più il punto c, interno all'intervallo.

Si dice che per x tendente a c, la funzione y = f(x) ha per limite l, e si scrive:

se, comunque si scelga un numero positivo

che si può anche scrivere come

Quindi, per verificare il limite per

di una funzione f(x), sapendo che tale limite vale l, dobbiamo risolvere la disequazione

: se l'insieme delle soluzioni così determinato è un intorno di c, oppure contiene un intorno completo di c, escluso al più c stesso, il limite verificato.

Esempio di verifica del limite attraverso la definizione

Consideriamo il seguente limite:

Affinché tale limite sia esatto, dobbiamo imporre che esista un valore

, piccolo a piacere, tale che la distanza della funzione dal nostro limite, sia minore di

.

Quindi, impostiamo la seguente disequazione:

Risolviamo la disequazione: se il risultato un intorno di -1, il limite sarà verificato:

Da questa espressione otteniamo che:

che un intorno di - 1; possiamo quindi concludere affermando che il limite verificato.

Materiale di supporto

sui limiti delle funzioni elementari