Una nota sui coefficienti delle potenze dello sviluppo in serie della funzione...

K

⎝ ⎠

k 1

n k

=

K 0

cioè n C 1

∑ =

K 0 , n (intero)>0, (2.04)

− +

k n k

! 1

= 0

K = =

Dalla (2.03), per k=0, ed r=0, abbiamo 1

C ; ritroviamo lo stesso valore (

C 1

) se passiamo

0 0

→ , di ambo i membri della (2.01)

al limite, per t 0 C

La (2.04) rappresenta una relazione attraverso la quale possiamo calcolare tutte le costanti K

Dalla (2.04), per n=1, 2, 3, 4, 5… , troviamo, rispettivamente:

1 1 1 19 9

= − = − = − = − = −

, , ,

C C C C , C ,…

1 2 3 4 5

2 6 4 30 4

C sono dei numeri razionali

Dalla (2.04) desumiamo, inoltre, che le costanti K

C sono dei numeri che godono delle seguenti proprietà:

Le costanti K

A) Integrando ambo i membri della (2.01), rispetto a t, tra i limiti 0 e 1, ricaviamo:

1

∑ C = ln2 (2.05)

+

K ( k 1

)!

≥

K 0

Infatti − − −

− −

− − 2

y y y

∞ ∞

t 1 e e

1 e

t

1 1

∫ ∫ ∫ ∫

− −

= =

= = =

y y

dt =ln2

dy

( ) e dy

dt t e ( )

− −

ln(

1 )

t y

ln y

t

0 0 0 0

Ricordiamo che − −

−

py qy

∞ q

e e

∫ = , (2.06)

ln

dy p

y

0

essendo p e q numeri reali positivi.

Ponendo nella (2.06), q=2, p=1,otteniamo il valore fornito dalla (2.05)

Dividendo, per t, gli ultimi due membri della (2.01), ed integrando, rispetto a t,

B) tra i limiti 0 e 1, otteniamo: C

∑ γ

= −

K (2.07)

k ! k

≥1

K

γ =

essendo 0,5772156649 la ben nota costante di Eulero-Mascheroni.

Infatti, operando, abbiamo:

− ( )

1

1 dt

1 1 1

∫

∫ ∫ −

− = − − = =

1 y

dt t ( )

dt ln t e =

− 0

t

t ln

ln(

1 ) t

0 0 0

∞ ∞ ( )

( )

1

∫ ∫

− − − =

− − =

1 1

y y

e d ln y ln y

e dy y

ln

= − 0

0

y

( )

0 0

⎡ ⎤

∞ ( ) ( )

∫

− ∞ −

+ − 1

y y

= ( e ln y ) ln y e dy ln y

⎢⎣ ⎥⎦

0 0

0 lim

⎡ ⎤

∞ ( )

∫ γ −

− = Γ = Ψ = − =

y y

Ora, ln y e dy ' (

1

) (

1

) , mentre ( e ln y ) 0 ;

⎢⎣ ⎥⎦ → ∞

y

0 3

quindi: [ ]

lim lim lim

γ γ γ

− −

− − + = − + − = −

y y

( e ln y ) (ln y ) (

1 e ) ln y ,

→ → →

y 0 y 0 y 0

[ ]

lim −

− =

y

in quanto (

1 e ) ln y 0

→

y 0

C) Le costanti C , C ,....

C sono tutte negative, e lo dimostreremo.

1 2 n

Ammettiamo, per ipotesi, che le costanti C , C ,....

C siano tutte negative.

1 2 n

Per la (2.04), abbiamo:

n C C

C C C 1

1 1 1

∑ = + + + + + =

0 n

K 1 K

... ... 0 (2.08)

− + + − +

! 1 !

k n k n n k n k n

! 1 0

! 1 1

!

=

K 0

Sostituendo, nella (2.08), n+1 ad n, otteniamo:

+

1

n C

C

C C C

1 1 1 1

∑ = + + + + + =

+

n

0

K 1 1

K

... ... 0 (2.09)

− + + + − + +

! 2 0

! 2 1

! 1 ! 2 ( 1

)!

k n k n n k n k n

= 0

K

Moltiplicando ciascun termine della (2.08) per n+1, e ciascun termine della (2.09) per n+2, e

sottraendo, quindi, termine a termine, i risultati ottenuti, abbiamo

+ + + + + +

C C C

n n n n n n

1 2 1 2 1 2

− + − + + − +

1 2 K

( ) ( ) ... ( ) ...

+ − − + − +

n n n n k n k n k

1

! 1 2

! 1 ! 1 2

. (2.10)

+

+

C C n

( 2 )

n 2

+ + − − =

+

1

n n

n ) 0

... ( 1 +

n n

2 1

!

! C , C ,....

C sono tutti maggiori di zero; infatti

Ora, nella (2.10), i coefficienti delle costanti 1 2 n

esaminando il coefficiente di /k!, otteniamo:

C K

+ +

1 2 1 1

n n k k

− = + − + = −

1 (

1 ) ( =

)

k

− + − + − + − + − + − +

1 2 1 2 1 2

n k n k n k n k n k n k

k (2.11)

= − + − +

( n k 1

)( n k 2

)

il quale, per ogni valore di k intero positivo, compreso tra 1 ed n, risulta sempre positivo.

Avendo ammesso, per ipotesi, che tutte le costanti C , C ,....

C presentano valori negativi, dalla

1 2 n

(2.10) deduciamo che, necessariamente, anche la costante C deve presentare un valore negativo.

+

n 1

Sappiamo, per averli calcolati, che i valori delle costanti C , C , C , C , C sono tutti negativi, e

1 2 3 4 5

quindi anche i valori delle successive costanti , ,...

C C devono risultare negativi, come abbiamo

6 7

dimostrato. *

Ora, indicando con C il valore assoluto di , dalle (2.05) e (2.07), rispettivamente,

C

K K

ricaviamo: 1

∑ = −

* 1 ln 2 (2.12)

C +

K ( 1

)!

k

≥

K 1 *

C

∑ γ

=

K (2.13)

k ! k

≥1

K −

→ 1 , otteniamo:

Dalla (2.01), passando al limite per t

1 1

∑ ∑

* *

= 1, oppure = 2 (2.14)

C C

K K

! !

k k

≥ ≥

K 1 K 0

Osservando la (2.14), possiamo ammettere che:

4

1 1

∑ − =

*

( ) 0 (2.15)

C K K

!

k 2

≥ 0

K

La (2.15) può essere interpretata affermando che la somma algebrica degli scostamenti dei

1 ∞

K

* ( 0

, )

coefficienti dai valori 1 / 2 , per tutti i valori di k interi non negativi, nell’intervallo ,

C K !

k

è uguale a zero.

Dal programma “Matematica”, (versione 5.0), abbiamo ricavato direttamente i primi diciotto

1

*

valori di , e cioè :

C K !

k

1 1 1 19 3 863 275 33953 8183 3250433 4671 1369577909

3 ,

1

, , , , , , , , , , , ,

2 12 24 720 160 60480 24182 3628800 1036800 479001600 788480 2615348736

000

2224234463 1322828401

27 2639651053 1119567034

48001 50188465

, , , ,

4755179520

00 3138418483

2000 6897623040

00 3201186852

8640000 1561316556

8

Sostituendo, nella (2.01), (t) con (-t), otteniamo:

−

K K

t t ( 1

)

∑

= (2.16)

C

+ K

ln(

1 t ) k !

≥

K 0

Ponendo, nella (2.16), t=1, ricaviamo:

− K

( 1

) 1

∑ =

C K k ! ln 2

≥ 0

K

Integrando, rispetto a t, ambo i membri della (2.16), tra i limiti 0 ed 1, ricaviamo:

−

− K z z

( 1

)

e e

tdt

( 1

)

∑ 1 ln 2

∫ ∫

= z

= (1+t= ) = =

e dz

C +

+

K ln(

1 ) z

t

(

1 k )! 0 0

≥

K 0 [ ]

−

K K 1

z z

1 ( 2 ) ∑

∑ ln 2

∫ −

K K

= ( 2 ln 2

) (ln 2

) (2.17)

= dz !

k k

k z

! 0

≥ ≥

0 1

K K

Dividendo, per t, 1° e 2° membro della (2.16), ed integrando, rispetto a t, tra i limiti 0 ed 1,

otteniamo: − K z

C ( 1

) e dz

dt dt

∑ ln 2 1

∫ ∫

1 1

∫ ∫ −

= − = z

K (1+t= ) = =

dz

e

+ z z

k ! k ln(

1 t ) t 0 0

0 0

≥

K 1 K K

dz dz dz

(ln 2 ) (ln 2 )

∑ ∑

1 1 1

∫ ∫ ∫

−

+ - = + lnln2 (2.18)

= z z z

k ! k k ! k

0 ln 2 0

≥1 ≥1

K K

Sommando, membro a membro, la relazioni (2.17) e (2.18), ricaviamo la relazione:

⎡ ⎤

⎛ ⎞

( )

1 1

∑ − − −

⎜ ⎟

K

K

⎢ ⎥⎦

( 2 ln 2

) 1 2 =1 – lnln2

C +

K ⎝ ⎠

⎣

! 1

k k k

≥

1

K

3. Relazioni connesse con C K

e S(n,k)

3.1 Relazione tra C K − z

Sostituendo, nella (1.01), = , ricaviamo:

1 e

t

−

z C

1

e ∑

= − z K

K (3.01)

(

1 )

e

!

z k

≥ 0

K

Ricordando che 5

−

−

z 1

K K

1

e z z

∑ ∑

= = ,

+

z ! ( 1

)!

k k

≥ ≥

1 0

K K

troviamo: − K K

( 1

)

C z

∑ ∑

−

z K

K = (3.02)

( 1

)

e +

( 1

)!

! k

k

≥ ≥

0 0

K K

Derivando, n volte, ambo i membri della (3.02), rispetto a z, e ponendo dopo z=0, ricaviamo:

− K

( 1

)

C ! 1

n

∑ =

− ( )

z K n

K = (3.03)

(( 1

) )

e = + +

0

z ( 1

)! 1

n n

!

k

≥ 0

K

Dalla formula ⎛ ⎞ n

m t

∑

⎜ ⎟ − =

t p

( 1

) ( ) ( , ) (3.04)

e m S n p

⎜ ⎟ p

⎝ ⎠

p !

n

≥ 0

n

[ ]

riportata da Riordan (vedasi testo , pag. 91), ponendo p=k, ricaviamo:

1

−

t K n

( e 1

) t

∑

= (3.05)

S ( n , k )

k ! n

!

≥

n K

Nella (3.04), = m(m-1)(m-2)…(m-p+1), essendo p un numero intero non negativo, mentre

( )

m P

i numeri S(n.p) rappresentano i numeri di Stirling di seconda specie.

[ ] [ ]

, a pag. 233, e nel testo , a pag 63.

La formula (3.05) la ritroviamo anche nel testo 2 3

Derivando, n volte, rispetto a t, i due membri della (3.05), ponendo dopo t=0, troviamo:

( )

n

⎡ ⎤

−

t K

( e 1

) ≥

=

⎢ ⎥ ( n k ) (3.06)

S(n,k),

⎣ ⎦

k ! = 0

t

La (3.06) è una formula molto importante per mezzo della quale vengono definiti i numeri di

Stirling di seconda specie.

E’ opportuno precisare che i numeri di Stirling di seconda specie sono definiti anche dalla

relazione n

∑

=

n

x S ( n

, k )( x ) K

=

K 0

[ ]

(Vedasi Riordan, testo , pag. 202, formula (8)).

2 [ ] , pp. 60 e 101)

(Vedasi anche Roman , testo 4

= − − − + è la “lower factorial polynomials”, chiamata

La funzione ( ) ( 1

)( 2 )...( 1

)

x x x x x k

K