Luca Lussardi Appunti di Analisi I
Teoremi del calcolo differenziale
Le funzioni derivabili godono di importanti proprietà che verranno analizzate in questa sezione.
Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange
Teorema di Rolle
Sia f : [a, b] → R con a, b ∈ R, continua nel suo dominio e derivabile in (a, b); sia inoltre f(a) = f(b). Allora esiste x ∈ (a, b) punto stazionario per f.
Dimostrazione. Per il Teorema di Weierstrass f ha punto di minimo e di massimo assoluti in [a, b]; se tali punti coincidono con a e b allora f costante in [a, b], per cui ogni punto di (a, b) è stazionario per f. Si può quindi supporre che almeno uno tra minimo e massimo assoluti sia in (a, b): per il Teorema di Fermat tale punto è critico per f.
Teorema di Cauchy
Sia f : [a, b] → R con a, b ∈ R, continua nel suo dominio e derivabile in (a, b); allora esiste x ∈ (a, b) tale per cui si abbia
g′(x)(f(b) − f(a)) = f′(x)(g(b) − g(a)).
Se inoltre si ha g′(x) ≠ 0 in (a, b) allora si ha
f(b) − f(a) / g(b) − g(a) = f′(x) / g′(x).
Dimostrazione. Sia h : [a, b] → R definita come h(x) = g(x)(f(b) − f(a)) − f(x)(g(b) − g(a)); evidentemente h è continua su [a, b] e derivabile su (a, b). Inoltre si ha h(a) = h(b); per il Teorema di Rolle esiste x ∈ (a, b) stazionario per h, che è la tesi.
Teorema di Lagrange o del valor medio
Sia f : [a, b] → R con a, b ∈ R, continua nel suo dominio e derivabile in (a, b). Allora esiste x ∈ (a, b) tale per cui
(f(b) − f(a)) / (b − a) = f′(x).
Dimostrazione. Basta applicare il Teorema di Cauchy considerando la funzione g(x) = x.
Esempio
Rimuovendo anche solo una delle ipotesi di base dei tre Teoremi dimostrati, questi ultimi, in generale, non sussistono più.
Ad esempio la rimozione della continuità non garantisce la validità del Teorema di Rolle: la funzione f : [0, 1] data da f(x) = x per x ∈ [0, 1) e f(1) = 0 verifica tutte le altre condizioni ma non ha punti stazionari in (0, 1).
Analogamente la rimozione della derivabilità comporta la perdita della validità del Teorema di Rolle: la funzione f : [−1, 1] data da f(x) = |x| verifica tutte le altre condizioni ma non ha punti stazionari in (−1, 1).
Infine la funzione f : [0, 1] data da f(x) = x verifica tutte le condizioni tranne f(0) = f(1) ed invero non ha punti stazionari in (0, 1).
Esempi del tutto analoghi si possono facilmente costruire per un’analisi dei Teoremi di Cauchy e Lagrange.
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Nel documento vengono enunciati e dimostrati i teoremi fondamentali del calcolo differenziale, Rolle, Cauchy e Lagrange; di quest’ultimo viene fornito anche un esempio di applicazione.
Nella seconda parte, dopo aver enunciato e dimostrato il teorema di Fermat, si utilizza tale risultato e il teorema di Lagrange per fornire delle condizioni necessarie e sufficienti per lo studio della monotonia di una funzione reale e la ricerca dei massimi e dei minimi. Viene anche fatto cenno, nella parte finale, al metodo delle derivate successive per lo studio dei punti stazionari di una funzione.
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