Risolvere il seguente problema di Cauchy:
[math]\egin{cases} y' = \frac{y}{x} (\frac{1}{2\\log(\frac{y}{x})} +1) \\ y(1) = e \ \end{cases}[/math]
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione al problema di Cauchy esiste ed è unica. Ponendo
[math]\frac{y}{x} = z[/math]
si ottiene
[math]y = x \cdot z[/math]
da cui
[math]y' = z + x \cdot z'[/math]
Sostituendo questi valori nell'equazione differenziale si ottiene
[math]z + x z' = z (\frac{1}{2 \\log(z)} + 1)[/math]
[math]z + x z' = \frac{z}{2 \\log(z)} + z[/math]
[math]x z' = \frac{z}{2\\log(z)}[/math]
Si nota che
[math]z = 0[/math]
non è soluzione dell'equazione. Dividendo ambo i mebri per [math]x[/math]
, e moltiplicando per [math]\frac{\\log(z)}{z}[/math]
si ottiene
[math]\frac{2 \\log(z)}{z} z' = \frac{1}{x}[/math]
Integrando ambo i mebri
[math]\int \frac{2 \\log(z)}{z} z' dx = \int \frac{1}{x} dx[/math]
[math]\int \frac{2 \\log(z)}{z} dz = \int \frac{1}{x} dx[/math]
da cui
[math]\\log^2(z) = \\log|x| + c[/math]
[math]\\log(z) = \\pm \sqrt{\\log|x| + c}[/math]
[math]z = e^{\\pm \sqrt{\\log|x| + c}}[/math]
Ricordando la sostituzione fatta inizialmente si trova
[math]\frac{y}{x} = e^{\\pm \sqrt{\\log|x| + c}}[/math]
ovvero
[math]y = x \cdot e^{\\pm \sqrt{\\log|x| + c}}[/math]
Imponendo la condizione iniziale si trova
[math]e = e^{\\pm \sqrt{c}}[/math]
Si nota che la soluzione
[math]y = x \cdot e^{- \sqrt{\\log|x| + c}}[/math]
deve essere scartata, e che il problema di Cauchy è soddisfattoper [math]c=1[/math]
. Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è
[math]y = x \cdot e^{\sqrt{\\log|x| + 1}}[/math]
FINE
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